Matematyka.pl

Mam problem z zadaniem : Obliczyć sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n^2-n}}\)
Rozumiem , że muszę skorzystać z tw o całkowaniu/ rózniczkowaniu.
Czyli po dwukrotnym zróżniczkowaniu dostane \(\displaystyle{ \int \left( \int x^{n-2} \mbox{d}x \right) \mbox{d}x}\)?
Licząc pierwszą całkę dostane \(\displaystyle{ \int \left( -\ln \left( 1-x \right) +C \right) \mbox{d}x.}\) Pytanie : O ile dobrze liczę to skąd mam dostać stałą C?


e: co nie tak z kodem ? Bo nie rozumiem.

slash zamiast backslasha przy zamykającym tex

wstaw np 0

Czyli stałą mogę dodać na sam koniec czyli wyjdzie mi ze szereg równa się ileś tam +C . I za x podstawić 0 tak ?

będziesz całkować dwa razy, bo dwa razy rozniczkowaleś. dostaniesz dwie stale. wymyśl na którym etapie rachunków je obliczyc

\(\displaystyle{ \int \left( -\ln \left( 1-x \right) +C \right) \mbox{d}x=-\left\left(1-x \right) \left(\ln(1-x \right) -1\right)+Cx+C}\)
Podstawiając teraz za x=0 Dostaje
\(\displaystyle{ C=1-\ln1}\)
Dobrze liczę?

No nie, tę stała za każdym razem musisz nazwać inaczej

Czyli na każdym kroku muszę obliczyć stałą?
A co z taką sytuacją \(\displaystyle{ \sum_{0}^{ \infty } \left( n+1\right) x^n}\) , gdzie po scałkowaniu dostaje
\(\displaystyle{ \left( \sum_{0}^{ \infty } x^{n+1}+C\right)'}\)



Ok , już chyba rozumiem oba przypadki.

tutaj ta stała nie ma znaczenia. I tak zniknkie po zróżniczkowaniu, nie sądzisz?

tak już zauwazyłem . Dzięki za pomoc.