Suma szeregu poprzez całkowanie

eit · Post autor: **eit** » 25 kwie 2012, o 19:16

Witam,
mam problem z zadaniem 11.64 (Krysicki, Włodarski, tom I) z obliczeniem sumy szeregu za pomocą całkowania. Otóż:

Całkując szereg \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty} x^{n-1}}\) znaleźć sumę następujących szeregów:
\(\displaystyle{ 11.63 \sum_{1}^{ \infty} \frac{1}{n \cdot 3^n}}\)
\(\displaystyle{ 11.64 \sum_{1}^{ \infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}}\)

O ile pierwszy przykład był trywialny, bo po całkowaniu wychodziła nam funkcja niemal identyczna i wystarczyło podstawić \(\displaystyle{ x= \frac{1}{3}}\), o tyle w drugim po prostu nie mam pojęcia, co zrobić i od czego zacząć.

Po pierwsze, czy dobrze rozumuję, że w przykładzie drugim: \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{3n+1}}\), zaś \(\displaystyle{ x= -1}\)?
I co dalej? Po całkowaniu związek: \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty} \frac{x^n}{n} = ln (x-1)}\) nic mi nie daje, bo tutaj już nie wystarczy podstawić x. Co więc z tym zrobić? Całkować dalej? Przekształcać w jakiś sposób \(\displaystyle{ a_{n}}\), aby uzyskać coś zbliżonego do \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)? Odpowiedź także niewiele mi pomaga, bo nie mam zielonego pojęcia skąd bierze się tam \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ \pi}\).

Za wszelką pomoc bardzo dziękuję. Nie chcę gotowego rozwiązanie, ale jedną lub dwie wskazówki co dalej.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 25 kwie 2012, o 19:32

No to podpowiedź: \(\displaystyle{ (-1)^n=(-1)^{3n}}\)

MichalPWr · Post autor: **MichalPWr** » 25 kwie 2012, o 19:33

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty} \frac{1}{n \cdot 3^n}= \sum_{1}^{ \infty} \frac{1}{n } \cdot \left( x \right) ^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ x=\frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty} \frac{1}{n } \cdot \left( x \right) ^{n}=f\left( x\right)}\)
Teraz robisz pochodną i mnożysz obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\) i dalej już prosto

eit · Post autor: **eit** » 25 kwie 2012, o 19:49

octahedron pisze:No to podpowiedź: \(\displaystyle{ (-1)^n=(-1)^{3n}}\)

Podpowiedź rozumiem, ale nadal mam problem.

Po drugim całkowaniu mam \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{x^{n+1}}{n+1}}\) i to n+1 w wykładniku wszystko mi niweczy. Próbowałem to zrobić, to jest: \(\displaystyle{ (-1)^{3n+1}=(-1)^{3n} \cdot (-1)}\) ale wówczas obliczę szereg z przeciwnym znakiem, więc to bez sensu.

Może kolejna wskazówka? ;> [gdyby ktoś miał się nadto dziwić: nie umiem po prostu nigdzie znaleźć rozwiązanych przykładów tego typu, na ćwiczeniach zostało to podane w ciągu trzech ostatnich minut z informacją: będzie na kolokwium]

octahedron · Post autor: **octahedron** » 25 kwie 2012, o 20:02

eit pisze:... ale wówczas obliczę szereg z przeciwnym znakiem...

więc postaw minus przed całością i wyjdzie z dobrym znakiem.

eit · Post autor: **eit** » 25 kwie 2012, o 22:41

octahedron pisze:
eit pisze:... ale wówczas obliczę szereg z przeciwnym znakiem...
więc postaw minus przed całością i wyjdzie z dobrym znakiem.

I to bynajmniej nie jest wynik zgodny z odpowiedziami (potwierdzonymi Wolframem)...

Inaczej: mógłby jednak ktoś pomóc z tym od A do Z, pokazać pełne albo chociaż niemal pełne rozwiązanie? Może w ten sposób zdołam zrozumieć jak takie zadania rozwiązywać.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 26 kwie 2012, o 00:03

\(\displaystyle{ \sum_1^\infty \frac{x^{3n+1}}{3n+1}=\int\sum_1^\infty x^{3n}\,dx=\int\frac{x^3}{1-x^3}\,dx=\\\\=\frac{1}{6}\ln(x^2+x+1)-x-\frac{1}{3}\ln(1-x)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C\\\\
x=0 \Rightarrow \sum_1^\infty \frac{0^{3n+1}}{3n+1}=0=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+C=\frac{\pi}{6\sqrt{3}}+C \Rightarrow C=-\frac{\pi}{6\sqrt{3}}\\\\
\sum_1^\infty \frac{x^{3n+1}}{3n+1}=\frac{1}{6}\ln(x^2+x+1)-x-\frac{1}{3}\ln(1-x)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)-\frac{\pi}{6\sqrt{3}}\\\\
\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=-\sum_{1}^{\infty} \frac{(-1)^{3n+1}}{3n+1}=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}-1}\)

kincur · Post autor: **kincur** » 13 cze 2013, o 19:36

Mam pytanie, skąd w potędze x bierze się \(\displaystyle{ \left( 3n+1 \right)}\)?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 14 cze 2013, o 02:22

Bierze się stąd, żeby można to było łatwo przekształcić w całkę.