Matematyka.pl

Rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{1-z}}\) , gdzie \(\displaystyle{ z}\) oznacza liczbę zespoloną, w szereg potęgowy w punktach
a)\(\displaystyle{ z_{0}=3}\)
b)\(\displaystyle{ z_{0}=i}\)

a) Mamy\[f(z)=\frac{1}{-2-(z-3)}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{z=3}{2}}=-\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{z-3}{2}\right)^n=-\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}(z-3)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}(z-3)^n\]dla \(|z-3|<2.\) Stosowałem znany wzór na sumę szeregu geometrycznego.

Dla \(z_0=i\) zrób podobnie. Tylko rachunki będą bardziej uciążliwe:\[1-z=1-i-(z-i)=(1-i)\left(1+\frac{z-i}{1-i}\right).\]