Matematyka.pl

\(\displaystyle{
\sum_{ n=0 }^{ \infty } \frac{ x^{n} }{ \sqrt{2n+5} \cdot3^{n} }
}\)

Licząc granicę g
\(\displaystyle{
g = \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{1 }{ \sqrt{2n+5} \cdot 3^{n} } \right|} = \frac{1}{3} \Rightarrow R = 3
}\)

Następnie dla x=3
\(\displaystyle{
\sum_{ n=0 }^{ \infty } \frac{ 3^{n} }{ \sqrt{2n+5} \cdot 3^{n} } = \frac{1}{ \sqrt{2n+5} }
}\)
jest to mniej więcej ciąg harmoniczny rzędu \(\displaystyle{ \alpha = \frac{1}{2}}\), więc szereg jest rozbieżny

Dla x=-3 mam problem z ustaleniem zbiezności szeregu
\(\displaystyle{
\sum_{ n=0 }^{ \infty } \frac{ -3^{n} }{ \sqrt{2n+5} \cdot 3^{n} } = \frac{-1}{ \sqrt{2n+5} }
}\)

Z odpowiedzi wiem, że powinien być to szereg zbieżny, ale nie wiem jak to ustalić.

essabyczku pisze: ↑21 cze 2022, o 18:57Dla x=-3 mam problem z ustaleniem zbiezności szeregu
\(\displaystyle{
\sum_{ n=0 }^{ \infty } \frac{ -3^{n} }{ \sqrt{2n+5} \cdot 3^{n} } = \frac{-1}{ \sqrt{2n+5} }
}\)

Masz problem, bo źle podstawiłeś. Powinno być

\(\displaystyle{ \sum_{ n=0 }^{ \infty } \frac{ (-3)^{n} }{ \sqrt{2n+5} \cdot 3^{n} } = \sum_{ n=0 }^{ \infty } \frac{(-1)^n}{ \sqrt{2n+5} } .}\)

JK

Dziękuje bardzo.