kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 12 gru 2007, o 14:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 1 raz
kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow
Eh znowu mam klopot, tym razem z kryterium porownawczym ...
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ } \frac{2 ^{n} + sin n! }{3 ^{n} }}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ } \frac{2 ^{n} + sin n! }{3 ^{n} }}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow
\(\displaystyle{ |\frac{2^{n}+\sin n!}{3^{n}}| = \frac{|2^{n} + \sin n!|}{3^{n}} q \frac{|2^{n}| + |\sin n!|}{3^{n}} q \frac{2^{n} + 1}{3^{n}} < (\frac{2}{3})^{n}}\)
To na końcu to wyraz ogólny szeregu geometrycznego (a więc zbieżnego), stąd na mocy kryterium porównawczego nasz szereg jest zbieżny bezwzględnie.
To na końcu to wyraz ogólny szeregu geometrycznego (a więc zbieżnego), stąd na mocy kryterium porównawczego nasz szereg jest zbieżny bezwzględnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow
Ups : D
To robimy poprawkę:
\(\displaystyle{ \frac{2^{n}+1}{3^{n}} q \frac{2^{n}+2^{n}}{3^{n}} = 2(\frac{2}{3})^{n}}\)
Co również jest zbieżne. Ech, tak to jest, jak się nie myśli, co się pisze.
Dzięki za zwrócenie uwagi. Zostawiam ku przestrodze : P
To robimy poprawkę:
\(\displaystyle{ \frac{2^{n}+1}{3^{n}} q \frac{2^{n}+2^{n}}{3^{n}} = 2(\frac{2}{3})^{n}}\)
Co również jest zbieżne. Ech, tak to jest, jak się nie myśli, co się pisze.
Dzięki za zwrócenie uwagi. Zostawiam ku przestrodze : P
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 12 gru 2007, o 14:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 1 raz
kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow
Dzieki za pomoc chlopaki. A moze jeszcze ten glupi przyklad : Z moich rozwazan wynika ze jest rozbiezny, tylko nie potrafie tego obliczyc ...
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{3 ^{n} + 1}{n3 ^{n} + 2 ^{n} }}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{3 ^{n} + 1}{n3 ^{n} + 2 ^{n} }}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{3^n + 1}{n3^n + 2^n} > \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{3^n}{n 3^n + n 3^n} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n}}\)
Czyli rozbieżny ;]
Czyli rozbieżny ;]
Ostatnio zmieniony 30 gru 2007, o 10:32 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 12 gru 2007, o 14:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 1 raz
kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow
Heh i znowu kolejna przeszkoda:( na drodze zdobywania artefaktow umiejetnosci analizy ...
A mianowicie : Wykazac zbieznosc odpowiedniego szeregu i nastepnie na podstawie warunku koniecznego zbadac zbieznosci szeregow uzasadnic podane rownosci:
\(\displaystyle{ \lim \frac{ 7 ^{n}}{n ^{5}} = \infty}\) i licze to tak:
z kryterium d'Alemberta : \(\displaystyle{ lim ( \frac{ 7 ^{n+1}}{7 ^{n} } \frac{n ^{5} }{ (n+1)^{5} } )}\) co daje granice wieksza od 1 ... i nie wychodzi mi zbieznosc ...
Mam prawie podobny ( a w zasadzie nie
) przyklad i tam poprostu odwrocili ulamek przy badaniu kryterium d'alemberta ( zamienili mianownik z licznikiem ) : dlaczego ?
dodam ze inne przyklady mi ladnie wychodza .. a tylko ten nie ... a jest w podpunkcie a ....
A mianowicie : Wykazac zbieznosc odpowiedniego szeregu i nastepnie na podstawie warunku koniecznego zbadac zbieznosci szeregow uzasadnic podane rownosci:
\(\displaystyle{ \lim \frac{ 7 ^{n}}{n ^{5}} = \infty}\) i licze to tak:
z kryterium d'Alemberta : \(\displaystyle{ lim ( \frac{ 7 ^{n+1}}{7 ^{n} } \frac{n ^{5} }{ (n+1)^{5} } )}\) co daje granice wieksza od 1 ... i nie wychodzi mi zbieznosc ...
Mam prawie podobny ( a w zasadzie nie
![:D](./../images/smilies/icon_biggrin.gif)
dodam ze inne przyklady mi ladnie wychodza .. a tylko ten nie ... a jest w podpunkcie a ....
Ostatnio zmieniony 30 gru 2007, o 13:59 przez zxc18, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow
A czy odejmowali od tego 1? Bo jeśli tak, to to było kryterium Raabego.
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 12 gru 2007, o 14:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 1 raz
kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow
ee nie odejmowali ... to byl taki przyklad :
\(\displaystyle{ lim \frac{n!}{1000 ^{n} } = \infty}\) W tym przykladzie rozwazmy szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1000 ^{n} }{n!}}\) zbieznosc tego szeregu z kryterium d'alemberta ... i jechali juz normalnie .. i nie wiem czemu to tak zamienili ??
Gdybym wiedzial czemu, to bym to zastowawal w moim przykladzie i wtedy granica wyszalby \(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\) i bylby zbiezny ...
\(\displaystyle{ lim \frac{n!}{1000 ^{n} } = \infty}\) W tym przykladzie rozwazmy szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1000 ^{n} }{n!}}\) zbieznosc tego szeregu z kryterium d'alemberta ... i jechali juz normalnie .. i nie wiem czemu to tak zamienili ??
Gdybym wiedzial czemu, to bym to zastowawal w moim przykladzie i wtedy granica wyszalby \(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\) i bylby zbiezny ...
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow
I na tej podstawie stwierdzili, że ten pierwszy jest zbieżny?! Może chodziło im o warunek konieczny dla tego odwróconego, dlatego jeśli ten pierwszy dąży do nieskończoności, to odwrócony do zera i warunek konieczny jest spełniony.
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow
Trzeba przyznać, że dość odważnie i według mnie głupio jest stwierdzać, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, ponieważ szereg nie jest zbieżny.
W Twoim przypadku według mnie najwygodniej byłoby to zrobić tak:
\(\displaystyle{ \frac{7^{n}}{n^{5}} = \frac{1}{\frac{n^{5}}{7^{n}}}}\)
I już dzięki kryterium d'Alamberta uzasadnić, że ciąg z mianownika zmierza do 0. A wtedy cały będzie zmierzał do nieskończoności.
W Twoim przypadku według mnie najwygodniej byłoby to zrobić tak:
\(\displaystyle{ \frac{7^{n}}{n^{5}} = \frac{1}{\frac{n^{5}}{7^{n}}}}\)
I już dzięki kryterium d'Alamberta uzasadnić, że ciąg z mianownika zmierza do 0. A wtedy cały będzie zmierzał do nieskończoności.