Matematyka.pl

Mam zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{2n+1}{2}- \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n+1}}\) No to najpierw policzę \(\displaystyle{ a _{n+1}= \frac{2n+3}{2}- \frac{1+3+5+...+(2n+1)}{n+2}}\) Wiem że muszę zbadać znak różnicy \(\displaystyle{ a _{n+1}-a _{n}}\). Wypadało b ustalić wspólne mianowniki więc może zaczne od wyrazu ogólnego \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{(2n+1)(n+1)-2(1+3+5+..+(2n-1))}{2n+2}}\) a teraz w tym drugim \(\displaystyle{ a _{n+1}= \frac{(2n+3)(n+2)-2(1+3+5+...+(2n+1))}{2n+4}}\) teraz jak by badać znak różnicy to znowu wspólne mianowniki i wychodzą masakryczne obliczenia. Jest jakiś szybszy sposób ?

Policz z drugiej części sumę ciągu arytmetycznego i dostaniesz bardzo proste wyrażenie.

Z której części i jaką sumę ?

Chodzi o drugi licznik w \(\displaystyle{ a_n}\)

Wyszło że ciąg jest rosnący ale jak by ktoś mógł sprawdzić to niech sprawdzi czy też mu wyszło \(\displaystyle{ a _{n+1}-a _{n}= \frac{1}{2}}\). Bo może przypadkiem wyszła mi dodatnia ta różnica więc niech ktoś też sprawdzi czy ma taką różnice -- 27 lut 2012, o 12:31 --Bo w książce jest napisane ciąg rosnący

Źle Ci wyszło - ta różnica nie jest stała tylko zależy od \(\displaystyle{ n}\). Czy zrobiłeś to co napisał maciejsporysz?

To może żeby nie przepisywać wszystkiego to na razie powiem do kąd jestem tak na 80% pewny, że mam dobrze to zdaje mi się że do tąd powinno być dobrze to ta różnica wynosi \(\displaystyle{ \frac{4n ^{2}+12n+4 }{4n ^{2}+12n+8 }}\) no i stąd wziąłem tą jedną drugą.

Nie, ta różnica wynosi

\(\displaystyle{ a _{n+1}-a _{n}= \frac{1}{(n+1)(n+2)}}\)-- 27 lut 2012, o 14:03 --Czyli u Ciebie w liczniku powinno być samo \(\displaystyle{ 4}\)

Zrobiłem jeszcze raz i wyszło mi teraz inaczej bo \(\displaystyle{ \frac{(n+ \frac{4}{3})(n+ \frac{1}{3} ) }{(n+1)(n+2)}}\) nie wiem jak Ci wyszło w liczniku 1. Ta suma w tym liczniku mi wyszła \(\displaystyle{ n ^{2}}\) potem zredukowałem wyraz ogólny i mi wyszedł \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{3n+1}{2n+2}}\) Potem \(\displaystyle{ a _{n+1}= \frac{3n+4}{2n+4}}\). Masz coś inaczej ?

Zrobiłeś jakiś błąd rachunkowy przy liczeniu różnicy. Nie chce mi się pisać wszystkich przekształceń, więc pomijam środek:

\(\displaystyle{ a _{n+1}-a _{n}= \frac{3n+4}{2(n+2)}- \frac{3n+1}{2(n+1)}= \frac{(3n+4)(n+1)-(3n+1)(n+2)}{2(n+1)(n+2)}= ...=\frac{2}{2(n+1)(n+2)}= \frac{1}{(n+1)(n+2)}}\)

Już znalazłem swój błąd Wielkie dzięki za pomoc