Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
Witam. Mam pewien problem, moze blahy, ale spedza mi sen z powiek wiec szukam odpowiedzi. Mianowicie nie moge dojsc do tego jak WYPROWADZIC wzor na sume n kolejnych wyrazow ciagu geometrycznego.
Moze ktos potrafi mi pomoc, ew. wskazac zrodlo w internecie gdzie takie wyprowadzenie znajde? Bylbym wdzieczny
pozdr.
Pisz konkretne tematy. - gnicz
Moze ktos potrafi mi pomoc, ew. wskazac zrodlo w internecie gdzie takie wyprowadzenie znajde? Bylbym wdzieczny
pozdr.
Pisz konkretne tematy. - gnicz
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
Odwołuje do podręcznika z matmy do klasy 2 LO
Wiemy, że \(\displaystyle{ S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n}\).
Mnożymy przez q i mamy:
\(\displaystyle{ S_n\cdot q=a_1\cdot q+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3+...+a_1\cdot q^n}\)
Przekształcamy dodajac \(\displaystyle{ a_1}\) i odejmując \(\displaystyle{ a_1}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ S_n\cdot q=a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3+...+a_1\cdot q(n-1)-a_1+a_1\cdot q^n=S_n-a_1+a_1\cdot q^n}\)
\(\displaystyle{ S_n\cdot q=S_n-a_1+a_1\cdot q^n\\
S_n\cdot q-S_n=a_1(q^n-1)\\
S_n(q-1)=a_1(q^n-1)\\
S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}}\)
I oto wzór jeszcze to można udowodnić indukcyjnie jakby ktoś nie był pewny...
Wiemy, że \(\displaystyle{ S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n}\).
Mnożymy przez q i mamy:
\(\displaystyle{ S_n\cdot q=a_1\cdot q+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3+...+a_1\cdot q^n}\)
Przekształcamy dodajac \(\displaystyle{ a_1}\) i odejmując \(\displaystyle{ a_1}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ S_n\cdot q=a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3+...+a_1\cdot q(n-1)-a_1+a_1\cdot q^n=S_n-a_1+a_1\cdot q^n}\)
\(\displaystyle{ S_n\cdot q=S_n-a_1+a_1\cdot q^n\\
S_n\cdot q-S_n=a_1(q^n-1)\\
S_n(q-1)=a_1(q^n-1)\\
S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}}\)
I oto wzór jeszcze to można udowodnić indukcyjnie jakby ktoś nie był pewny...
Ostatnio zmieniony 13 lis 2004, o 22:24 przez Zlodiej, łącznie zmieniany 1 raz.
Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
Nie da sie ukryc, w LO unikalem lekcji matematyki, a teraz zaluje
Widze tez, ze zle sie zabieralem do tego wyprowadzania, nie mialem odpowiedniej koncepcji. No to mnie czegos nauczyles, serdecznie dziekuje Ci za pomoc!
Widze tez, ze zle sie zabieralem do tego wyprowadzania, nie mialem odpowiedniej koncepcji. No to mnie czegos nauczyles, serdecznie dziekuje Ci za pomoc!
Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
Zeby nie zakladac nowego watku, zapytam tu: moze ktos powie mi jak wyprowadzic wzor na sume n poczatkowych wyrazow ciagu arytmetycznego tym razem?
Wyprowadzilem to bardzo lopatologicznie i mi sie to wyprowadzenie nie podoba. Sprowadzilem mianowicie problem do udowodnienia, ze \(\displaystyle{ 2+4+6...+n=n(n+1)}\). Ta ostatnia zaleznosc znalazlem rozpatrujac kilka konkretnych przykladow tego typu ciagu (\(\displaystyle{ 2+4+6+8}\) i \(\displaystyle{ 2+4+6+8+10}\)) i kiedy juz ja mialem, udowodnilem przez indukcje. Po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\) moglem wykorzystac ten wzor do wyprowadzenia wzoru na \(\displaystyle{ n}\)-ta sume ciagu arytmetycznego, bo \(\displaystyle{ r}\) (roznica ciagu) zmienia sie tak: \(\displaystyle{ 1r,2r,3r}\) itd. czyli \(\displaystyle{ r\cdot (1+2+3...+(n-1))=r\cdot \frac{(n-1)n}{2}.}\)
Mysle jednak, ze istnieje lepsze wyprowadzenie wzoru na wspomniana sume i chcialbym je poznac.
Wyprowadzilem to bardzo lopatologicznie i mi sie to wyprowadzenie nie podoba. Sprowadzilem mianowicie problem do udowodnienia, ze \(\displaystyle{ 2+4+6...+n=n(n+1)}\). Ta ostatnia zaleznosc znalazlem rozpatrujac kilka konkretnych przykladow tego typu ciagu (\(\displaystyle{ 2+4+6+8}\) i \(\displaystyle{ 2+4+6+8+10}\)) i kiedy juz ja mialem, udowodnilem przez indukcje. Po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\) moglem wykorzystac ten wzor do wyprowadzenia wzoru na \(\displaystyle{ n}\)-ta sume ciagu arytmetycznego, bo \(\displaystyle{ r}\) (roznica ciagu) zmienia sie tak: \(\displaystyle{ 1r,2r,3r}\) itd. czyli \(\displaystyle{ r\cdot (1+2+3...+(n-1))=r\cdot \frac{(n-1)n}{2}.}\)
Mysle jednak, ze istnieje lepsze wyprowadzenie wzoru na wspomniana sume i chcialbym je poznac.
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
\(\displaystyle{ a_n= a_1+(n-1)r\\
S_n= a_1+a_2+...+a_n\\
S_n= na_1+r+2r+3r+...+(n-1)r}\)
Ehh i tu byl gdzies taki wzor ze suma liczb naturalnych \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ S_n=n\left( a_1+\frac{n-1}{2}\cdot r \right) =n\left( a_1+\frac{a_n-a_1}{2}\right)=\frac{n}{2}\cdot(a_n+a_1)}\)
...
S_n= a_1+a_2+...+a_n\\
S_n= na_1+r+2r+3r+...+(n-1)r}\)
Ehh i tu byl gdzies taki wzor ze suma liczb naturalnych \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ S_n=n\left( a_1+\frac{n-1}{2}\cdot r \right) =n\left( a_1+\frac{a_n-a_1}{2}\right)=\frac{n}{2}\cdot(a_n+a_1)}\)
...
Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
Dzieki, ale tyle wlasnie wiem (nawet napisalem powyzej, moze troche zawile). Pytanie: skad bierze sie ten wzor na sume \(\displaystyle{ 1+2+3+4+...+n}\) bo to przeciez tez ciag arytmetyczny (wiec wyprowadzamy wzor na sume znajac juz wzor na sume ciagu arytmetycznego o \(\displaystyle{ r=1}\) - maslo maslane).
Ja ten wzor wyprowadzilem lopatologicznie, bo dal sie zauwazyc np. tak:
\(\displaystyle{ 2+4+6+8=20}\)
mamy tu \(\displaystyle{ n=4}\) wyrazy, czyli wynik mozna zapisac jako \(\displaystyle{ 4\cdot 5}\). Zauwazamy, ze to tyle:
\(\displaystyle{ n\cdot (n+1)}\)
Mozna rozwazyc jeszcze kilka przykladow,za kazdym razem wychodzi to samo. Trzeba tylko dowiesc indukcyjnie ze to prawda.
Nastepnie wystarczy teraz podzielic przez dwa (bo mamy podwojona sume na razie) i otrzymamy wzor na \(\displaystyle{ 1+2+3+4}\).
W ten sposob wyprowadzilismy czy raczej - zauwazylismy wzor na sume ciagu arytmetycznego o \(\displaystyle{ r=1}\). Z tego miejsca oczywiscie wyprowadzimy wzor na sume dla kazdego innego \(\displaystyle{ r.}\) Ale jak ladnie wyprowadzic ten potrzebny wzor na sume \(\displaystyle{ 1+2+3+4+...+n}\)? Tego wlasnie nie wiem, a nie podoba mi sie sposob w jaki do tego doszedlem
Ja ten wzor wyprowadzilem lopatologicznie, bo dal sie zauwazyc np. tak:
\(\displaystyle{ 2+4+6+8=20}\)
mamy tu \(\displaystyle{ n=4}\) wyrazy, czyli wynik mozna zapisac jako \(\displaystyle{ 4\cdot 5}\). Zauwazamy, ze to tyle:
\(\displaystyle{ n\cdot (n+1)}\)
Mozna rozwazyc jeszcze kilka przykladow,za kazdym razem wychodzi to samo. Trzeba tylko dowiesc indukcyjnie ze to prawda.
Nastepnie wystarczy teraz podzielic przez dwa (bo mamy podwojona sume na razie) i otrzymamy wzor na \(\displaystyle{ 1+2+3+4}\).
W ten sposob wyprowadzilismy czy raczej - zauwazylismy wzor na sume ciagu arytmetycznego o \(\displaystyle{ r=1}\). Z tego miejsca oczywiscie wyprowadzimy wzor na sume dla kazdego innego \(\displaystyle{ r.}\) Ale jak ladnie wyprowadzic ten potrzebny wzor na sume \(\displaystyle{ 1+2+3+4+...+n}\)? Tego wlasnie nie wiem, a nie podoba mi sie sposob w jaki do tego doszedlem
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
no jak znajdujesz jakis wzor za pomocą rozwazania roznych \(\displaystyle{ n}\) a potem dowodzisz go indukcyjnie i wychodzi to powinno być dobrze ... ale mozna tak chyba tez:
\(\displaystyle{ 1+2+3+4+5+6+7+...+n\\
1+n+2+n-1+3+n-2+...=n+1+n+1+n+1+n+1...=\frac{n\cdot n+n}{2}=\frac{n\cdot(n+1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ 1+2+3+4+5+6+7+...+n\\
1+n+2+n-1+3+n-2+...=n+1+n+1+n+1+n+1...=\frac{n\cdot n+n}{2}=\frac{n\cdot(n+1)}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 91
- Rejestracja: 7 paź 2004, o 20:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Olsztyn
- Pomógł: 4 razy
Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
Nie wiem, czy o to Ci chodzilo, ale jest taki znany sposob:
\(\displaystyle{ S_n = 1+2+...+(n-1)+n}\)
Zapisujemy to "w druga strone"
\(\displaystyle{ S_n = n+(n-1)+...+2+1}\)
I dodajemy stronami:
\(\displaystyle{ 2S_n = (n+1) + (n-1+2)+...}\) itd.
Otrzymujemy sume \(\displaystyle{ n}\) nawiasow \(\displaystyle{ (n+1)}\)
\(\displaystyle{ 2S_n = n\cdot(n+1)
S_n = \frac{n\cdot(n+1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ S_n = 1+2+...+(n-1)+n}\)
Zapisujemy to "w druga strone"
\(\displaystyle{ S_n = n+(n-1)+...+2+1}\)
I dodajemy stronami:
\(\displaystyle{ 2S_n = (n+1) + (n-1+2)+...}\) itd.
Otrzymujemy sume \(\displaystyle{ n}\) nawiasow \(\displaystyle{ (n+1)}\)
\(\displaystyle{ 2S_n = n\cdot(n+1)
S_n = \frac{n\cdot(n+1)}{2}}\)
- Undre
- Użytkownik
- Posty: 1430
- Rejestracja: 15 lis 2004, o 02:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: UĆ
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 92 razy
Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
Ostatni wzór podaną metodą w wieku jeszcze nastoletnim wykombinował Gauss ... no i jak sie okazało miał chłopak pikną koncepcję bo wyrażenie w nawiasie \(\displaystyle{ ( 1 + n )}\) to \(\displaystyle{ (a_1 + a_n)}\) ... od szczegółu do ogółu ...
Przerażają mnie ludzie którzy tworzyli tą dziedzinę ... sami hardcorowcy ;D
Przerażają mnie ludzie którzy tworzyli tą dziedzinę ... sami hardcorowcy ;D
Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
zanim sie zada pytanie warto uzyc wyszukiwarki na forum
Wzor: n-ta suma czastkowa szeregu geometrycznego
Dokladnie o wyprowadzenie tego wzoru mi chodzilo.
Dziekuje Wam za pomoc
No i obiecuje, ze nastepnym razem przed postawieniem pytania przeszukam forum
Dziekuje Wam za pomoc
No i obiecuje, ze nastepnym razem przed postawieniem pytania przeszukam forum