Wyznacz cztery liczby całkowite

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wyznacz cztery liczby całkowite

Post autor: max123321 »

Wyznacz cztery liczby całkowite tworzące ciąg geometryczny, jeśli suma wyrazów skrajnych
tego ciągu to \(\displaystyle{ 27}\), a iloczyn wyrazów środkowych to \(\displaystyle{ 72}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Załóżmy, że te liczby tworzące ciąg to po kolei \(\displaystyle{ a,b,c,d}\). Wówczas \(\displaystyle{ a+d=27}\), \(\displaystyle{ bc=72}\).
\(\displaystyle{ d=aq^3}\)
\(\displaystyle{ b=aq}\)
\(\displaystyle{ c=aq^2}\)
Mamy układ:
\(\displaystyle{ a+aq^3=27}\)
\(\displaystyle{ aq \cdot aq^2=72}\), zatem
\(\displaystyle{ a^2q^3=72}\) czyli
\(\displaystyle{ q^3= \frac{72}{a^2}=27}\), więc
\(\displaystyle{ a+a \cdot \frac{72}{a^2}=27 }\) czyli
\(\displaystyle{ a^2-27a+72=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=729-288=441}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=21 }\)
\(\displaystyle{ a_1= \frac{27-21}{2}=3 }\)
\(\displaystyle{ a_2=24}\)
Czyli skoro \(\displaystyle{ q= \sqrt[3]{ \frac{72}{9} } =2}\), to
\(\displaystyle{ a=3,b=6,c=12,d=24}\) lub \(\displaystyle{ q= \frac{1}{2} }\) i \(\displaystyle{ a=24,b=12,c=6,d=3}\).

Czy tak jest dobrze?

Dodano po 11 godzinach 24 minutach 24 sekundach:
Czy może się ktoś wypowiedzieć, czy tak jest dobrze? I jeśli tak to czy to są jedyne rozwiązania?

Dodano po 15 godzinach 17 minutach 20 sekundach:
Podbijam pytanie, czy tak jak zrobiłem jest dobrze?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznacz cztery liczby całkowite

Post autor: Jan Kraszewski »

Pomijając błąd przepisywania
max123321 pisze: 1 gru 2022, o 15:47 \(\displaystyle{ a^2q^3=72}\) czyli
\(\displaystyle{ q^3= \frac{72}{a^2}\red{=27}}\),
oraz wyrachowanie tylko jednego ilorazu z dwóch
max123321 pisze: 1 gru 2022, o 15:47 Czyli skoro \(\displaystyle{ q= \sqrt[3]{ \frac{72}{9} } =2}\), to
\(\displaystyle{ a=3,b=6,c=12,d=24}\) lub \(\displaystyle{ q= \frac{1}{2} }\) i \(\displaystyle{ a=24,b=12,c=6,d=3}\).
jest dobrze. Nie potrafisz sam tego stwierdzić?

JK
ODPOWIEDZ