Matematyka.pl

1. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Liczby te są jednocześnie pierwszym, trzecim i piątym wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wykaż, że te liczby są jednakowe

2. Wyznacz drugi, trzeci i czwarty wyraz ciągu określonego wzorem rekurencyjnym \(\displaystyle{ a_{1}=\frac{3}{5},}\)\(\displaystyle{ a_{n+1}=5a_{n}-3}\). Dla wyznaczonych wyrazów znajdź taka liczbę x, aby ciąg (\(\displaystyle{ a_{3},x, a_{4}}\)) był ciągiem geometrycznym

3. Rozwiąż nierówność: \(\displaystyle{ 2x+\frac{4x}{x - 3}+\frac{8x}{(x-3)^{2}}+...<5}\)

4 Wykaż, że jeśli w ciagu arytmetycznym dla liczby \(\displaystyle{ n \in N_{+}}\) prawdziwy jest wzór: \(\displaystyle{ S_{n}+S_{2n}=S_{3n'}}\)

3. Lewa strona nierówności to szereg geometryczny zbieżny o ilorazie równym \(\displaystyle{ q=\frac{2}{x-3}}\)
(oczywiście \(\displaystyle{ |q|<1}\) dla \(\displaystyle{ x \in R / \{ 3\}}\))

Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ S=\frac{a_1}{1-q}}\) mamy:

\(\displaystyle{ 2x+\frac{4x}{x-3}+\frac{8x}{(x-3)^2}+...=\frac{2x}{1-\frac{2}{x-3}}=\frac{2x(x-3)}{x-5}<5}\)

A z tym już sobie poradzisz

Heh dzięki:D Teraz myślę nad zad 4, bo 1 i 2 mam ale nie wiem czy dobrze:P

Jeśli chodzi o 4 zadanie, treść jest chyba niedokładna...

4 Wykaż, że jeśli w ciagu arytmetycznym dla liczby \(\displaystyle{ n \in N_{+}}\) prawdziwy jest wzór: \(\displaystyle{ S_{n}+S_{2n}=S_{3n'}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n + \frac{a_{1}+a_{2n}}{2}*2n= \frac{a_{1}+a_{3n}}{2}*3n //:n}\)
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}+a_{n}}{2}+\frac{a_{1}+a_{2n}}{2}*2= \frac{a_{1}+a_{3n}}{2}*3}\)
\(\displaystyle{ a_{1}+a_{n}+2a_{1}+2a_{2n}=3a_{1}+3a_{3n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}+2a_{2n}=3a_{3n}}\)
No i dalej nie wiadomo co robić, bo kawałka treści chyba brakuje

Znalazłam podobna treść tego zadania

"Wykaż, że jeśli w ciągu arytmetycznym dla liczby \(\displaystyle{ n\in N_{+}}\) prawdziwy jest wzór \(\displaystyle{ S_n+S_{2n}=S_{3n}}\), to jest to ciąg stały"

Ciąg jest stały, gdy jego różnica jest równa \(\displaystyle{ r=0}\).

Czyli kończąc obliczenia marcinn12-a mamy
\(\displaystyle{ a_n+2a_{2n}=3a_{3n}\\
a+(n-1)r+2(a+(2n-1)r)=3(a+(3n-1)r)\\
5nr=9nr}\)
Ostatnia równość prawdziwa jest dla \(\displaystyle{ n=0 \vee r=0}\), a ponieważ \(\displaystyle{ n\in N_{+}}\) to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ r=0}\). A to należało wykazać.

Ok. A te 1 i 2 zad moglibyście rozwiązać bo nie jestem pewien czy dobrze zrobiłem:D

2. \(\displaystyle{ a_2=0 , \ a_3=-3, \ a_4=-18}\)
A szukana liczba \(\displaystyle{ x=-3\sqrt{6}}\)


1, Wiadomo, że \(\displaystyle{ a=a, b=aq^2, c=aq^4}\), korzystając z takiej własności ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ a+c=2b}\) mamy:
\(\displaystyle{ a+aq^4=2aq^2 \ \Rightarrow \ q=1 \vee q=-1}\), zatem \(\displaystyle{ a=b=c}\)

czy mógłby ktoś zamieścić obliczenia do zadania 2?