Matematyka.pl

witam!

mam jakiś zanik pamięci, kiedyś coś takiego robiłem, ale teraz za nic w świecie nie potrafię tego policzyć.

2. Niech \(\displaystyle{ S_n}\) oznacza sumę \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_n=\frac{2^n+3^n}{6^n}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty} S_n}\)

pozdrawiam

zauwaz, ze
\(\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}S_n=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2^k+3^k}{6^k}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}}\)
itd...

nie rozumiem zapisu, mógłbyś rozwinąć?

czego dokładnie nie rozumiesz ? zapisu sumy ??

nie rozumiem tego przejścia \(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}}\) oraz nie wiem co należy zrobić dalej

mamy
\(\displaystyle{ \frac{2^k+3^k}{6^k}=\frac{2^{k}}{6^k}+\frac{3^k}{6^k}=\left(\frac{2}{6}\right)^{k}+\left(\frac{3}{6}\right)^{k}=\left(\frac{1}{3}\right)^{k}+\left(\frac{1}{2}\right)^{k}=\frac{1}{3^k}+\frac{1}{2^k}}\)
Przechodząc do sumy wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k}}\), jest szeregem geometrycznym, gdzie \(\displaystyle{ a_1=\frac{1}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ q=\frac{1}{3}}\).. analogicznie dla drugiego szeregu... wzor na sume nieskonczonego szeregu geometryczne napewno znasz..

teraz jak to rozpisałeś, to aż mi wstyd, że sam tego nie zrobiłem...

dziękuję bardzo