Matematyka.pl

Liczby a,b,c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby , w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a,b,c.

Proszę o podpowiedź jak to rozwiązać

układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a+b+c=93\\
\frac{b}{a} = \frac{c}{b}\\
b-a= \frac{c-b}{5}
\end{cases}}\)

Zrobiłem inaczej:

geomet:

a+a*q+a*q*q=93
\(\displaystyle{ a(q+q^{2}+1)=93}\)
\(\displaystyle{ a(q^{2}+q+1)=3*31}}\)
więc:
a=3 lub a=31
\(\displaystyle{ q^{2}+q+1=3}\) lub \(\displaystyle{ q^{2}+q+1=31}\)
\(\displaystyle{ q^{2}+q-2=0}\) lub \(\displaystyle{ q^{2}+q-30=0}\)
później Delta x1 i x2
Więc:
q=5 lub q=1

arytm:
a+a+r+a+6*r=93
3a+7r=93
za a mogę podstawić 3 lub 31
więc r=12 lub r=0

Doszłem do wyniku, który znałem i jest dobrze ale nie wiem czy to jest najlepszy sposób.
Jeśli możesz przedstaw jak dalej rozwiązujesz to zadanie twoim sposobem.

Dzięki za pomoc.

Chaotyczny ten zapis, czy przypadkiem nie kombinowałeś jak do wyniku dopasować obliczenia?;)

zauważ, że z tego:
\(\displaystyle{ a(q^2+q+1)=3 \cdot 31}\)
nie wynika, że \(\displaystyle{ a=3 \vee a=31}\).

użyję podobnego zapisu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a=a_{1}\\
b=a_{1}q\\
c=a_{1}q^2\\
a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^2=93\\
a_{1}q-a_{1}= \frac{a_{1}q^2-a_{1}q}{5}
\end{cases}
\\
\begin{cases}
a_{1}(q^2+q+1)=93\\
5a_{1}(q-1)=a_{1}(q^2-q)\\
\end{cases}
\\
\begin{cases}
a_{1}= \frac{93}{q^2+q+1} \\
5q-5=q^2-q
\end{cases}
\\
q^2-6q-5=0}\)

oblicz teraz 2 możliwe \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ a_{1}}\), potem \(\displaystyle{ a}\),\(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\)

fakt kombinowałem do wyniku:(
tu chyba mały błąd:
\(\displaystyle{ q^2-6q-5=0}\)

to chyba powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ q^2-6q+5=0}\)

i dalej już obliczam spokojnie

a z tym poprzednim układem zapiszesz?

maise pisze:
\(\displaystyle{ q^2-6q-5=0}\)

oblicz teraz 2 możliwe \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ a_{1}}\), potem \(\displaystyle{ a}\),\(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\)

dla
\(\displaystyle{ a_1=3}\)
wyszło mi
\(\displaystyle{ q=-6}\) lub \(\displaystyle{ q=5}\)

dla
\(\displaystyle{ a_1=31}\)
wyszło mi
\(\displaystyle{ q=-2}\)
\(\displaystyle{ q=1}\)

nie wiem dlaczego nie mogę brać od uwagę ujemnego \(\displaystyle{ q}\)?

dziękuję

bo ciągi:
\(\displaystyle{ a_{1}=3\\
a_{2}=-18\\
...\\
a_{7}=108}\)
i
\(\displaystyle{ a_{1}=31\\
a_{2}=-62\\
...\\
a_{7}=124}\)
nie są arytmetyczne

czyli muszę sprawdzić, czy dany ciąg będzie arytmetyczny?

dziękuję

Możesz założyć to na początku, że \(\displaystyle{ q>0}\), bo o ile w ciągu geometrycznym możesz mieć na zmianę wyrazy dodatnie i ujemne, to w arytmetycznym nie może tak być. Potem po wyliczeniu wszystkich \(\displaystyle{ q}\) musisz napisać przy tamtych dwóch, że nie spełniają założeń.

maise pisze:Możesz założyć to na początku, że \(\displaystyle{ q>0}\), bo o ile w ciągu geometrycznym możesz mieć na zmianę wyrazy dodatnie i ujemne, to w arytmetycznym nie może tak być.

o taką informację mi chodziło, tzn, założenie na początku. NIe wiedzialam jakie powinno być założenie i dlaczego.

dziękuję