\(\displaystyle{ \prod_{n \in \NN} a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR; }\)
czyli będą to podstawy matematyki.
Dlaczego ja mam zajmować się czymś innym niż podstawy matematyki, skoro czuję się w tym jak ryba w wodzie, jest to dla mnie ciekawe i rozwijające, a inne rzeczy niekoniecznie mi leżą?? Podstawy teorii mnogości, po wieczne czasy.
Chciałbym jeszcze zaznaczyć, że:
AKSJOMATYCZNA TEORIA MNOGOŚCI JEST NAJPRAWDZIWSZĄ MATEMATYKĄ:
Wpierw przypomnijmy, że jeśli \(\displaystyle{ a:\NN \rightarrow \RR}\) jest ciągiem liczb rzeczywistych, to definiujemy indukcyjnie nowy ciąg \(\displaystyle{ \left( S_n\right) _{n \in \NN}}\) liczb rzeczywistych, dany jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} S_0=a_0 \in \RR; \\ S_n=S _{n-1} \cdot a_n \in \RR; \hbox{ dla } n>0. \end{cases} }\)
Czyli:
\(\displaystyle{ S_0= a_0, }\)
\(\displaystyle{ S_1= a_0 \cdot a_1,}\)
\(\displaystyle{ S_2=a_0 \cdot a_1 \cdot a_2, }\)
\(\displaystyle{ S_3= a_0 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3,}\)
\(\displaystyle{ \ldots}\)
i wtedy:
\(\displaystyle{ \prod_{n \in\NN} a_n:= \lim_{ n\to + \infty } S_n;}\)
o ile istnieje powyższa granica.
Zbadamy zbieżność (i granicę) uogólnionych iloczynów arytmetycznych postaci: \(\displaystyle{ \prod_{n \in \NN} a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a=1}\), to:
\(\displaystyle{ a_0= 1=a_1= a_2=\ldots}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 1 \cdot 1=1}\), to przez prostą indukcję:
\(\displaystyle{ S_n= a_0 \cdot a_1 \cdot \ldots \cdot a_n=\underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{\left( n+1\right) \hbox { jedynek }}=1,}\)
więc:
\(\displaystyle{ \prod_{n \in \NN} a_n= \lim_{ n\to + \infty } S_n= \lim_{ n\to + \infty } 1= 1.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a=-1}\), to:
Rozważmy podciąg: \(\displaystyle{ \left( S _{2n} \right) _{n \in \NN} }\), złożony z wyrazów ciągu \(\displaystyle{ S_n}\) o numerach parzystych.
Wykażemy, stosując zasadę indukcji dla liczb parzystych, że: \(\displaystyle{ S _{2n}= -1}\), dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\).
Baza indukcji:
Niewątpliwie:
\(\displaystyle{ S_0= a_0=a=-1.}\)
Krok indukcyjny:
Jeśli \(\displaystyle{ S _{2n}= -1}\), to:
\(\displaystyle{ S _{2n+2}= S _{2n+1} \cdot a _{2n+2}= S _{2n+1} \cdot \left( -1\right)= \left( S _{2n} \right) \cdot a _{2n+1} \cdot \left( -1\right)=S _{2n} \cdot \left( -1\right) \cdot \left( -1\right)= S _{2n}= }\)
co jest równe, na mocy założenia indukcyjnego, więc to jest równe:
\(\displaystyle{ =-1.}\)
Wykazaliśmy zatem, że: \(\displaystyle{ S _{2n+2}= -1}\), co dowodzi kroku indukcyjnego.
Zasada indukcji dla liczb parzystych daje, że:
\(\displaystyle{ S _{2n}=-1}\), dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\).
A zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } S _{\left( 2n\right) } = \lim_{ n\to + \infty } \left( -1\right)=-1}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ S _{2n}= -1}\), dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), to dla \(\displaystyle{ n \in\NN}\), mamy:
\(\displaystyle{ S _{2n+1}= \left( S _{2n} \right) \cdot a _{2n+1}= \left( -1\right) \cdot \left( -1\right)=1,}\)
i to zachodzi dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), a zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } S _{\left( 2n+1\right) } = \lim_{ n\to + \infty } 1=1.}\)
A więc ciąg \(\displaystyle{ \left( S _{n}\right) _{n \in \NN}}\) ma dwa podciągi zbieżne do różnych granic, a zatem nie istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{ n \to + \infty } S_n}\), i iloczyn uogólniony: \(\displaystyle{ \prod_{n \in \NN} \left( -1\right)}\) nie ma granicy.
Jeśli \(\displaystyle{ a \in \left( - \infty , -1\right)}\), to:
Rozważmy podciąg ciągu \(\displaystyle{ \left( S_n\right) _{n \in \NN}}\): \(\displaystyle{ \left( S _{2n}\right) _{n \in \NN}}\) złożony z wyrazów tego ciągu o numerach parzystych.
Wykażemy indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ S _{2n}= -\left| a\right| ^{2n+1}}\),
dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), stosując zasadę indukcji dla liczb parzystych.
Niewątpliwie:
\(\displaystyle{ S_0=-\left| a\right| ^{2 \cdot 0+1}= -\left| a\right| ^{1}= -\left| a\right|}\), bo \(\displaystyle{ S_0= a_0= a=-\left( -a\right) \stackrel{a<0}{=}-\left| a\right|.}\)
Krok indukcyjny:
Jeśli \(\displaystyle{ S _{2n}=- \left|a \right| ^{2n+1}}\), to:
\(\displaystyle{ S _{2n+1}= S _{2n} \cdot a _{2n+1}= -\left| a\right| ^{2n+1} \cdot a= }\)
i ponieważ \(\displaystyle{ a<-1<0}\), więc: \(\displaystyle{ \left| a\right|=-a}\), tak więc: \(\displaystyle{ -\left| a\right|= - \left( -a\right)=a}\), a zatem, to jest równe:
\(\displaystyle{ =-\left| a\right| ^{2n+1} \cdot \left( -\left| a\right| \right)=\left| a\right| ^{2n+2}.}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ S _{2n+1}= \left| a\right| ^{2n+2};}\)
a zatem:
\(\displaystyle{ S _{2n+2}= S _{2n+1} \cdot a _{2n+2}=\left| a\right| ^{2n+2} \cdot a \stackrel{a=-\left| a\right| }{=} \left| a\right| ^{2n+2} \cdot \left( -\left| a\right| \right) =- \left| a\right| ^{2n+3},}\)
co dowodzi kroku indukcyjnego.
Zasada indukcji dla liczb parzystych daje, że:
\(\displaystyle{ S _{2n}=- \left| a\right| ^{2n+1}}\),
dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\).
A zatem, jeśli \(\displaystyle{ n \in \NN}\), to:
\(\displaystyle{ S _{2n+1} = S _{2n} \cdot a _{2n+1}= -\left| a\right| ^{2n+1} \cdot a\stackrel{a=-\left| a\right| } {=}- \left| a\right| ^{2n+1} \cdot \left( -\left| a\right| \right) = \left| a\right| ^{2n+2}.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a<-1}\), to: \(\displaystyle{ \left| a\right|>1}\), a zatem:
podciąg:
\(\displaystyle{ S _{2n}= -\left| a\right| ^{2n+1}}\) ma granicę równą \(\displaystyle{ \left( - \infty \right).}\)
A podciąg:
\(\displaystyle{ S _{2n+1}= \left| a\right| ^{2n+2},}\)
ma granicę równą \(\displaystyle{ \left( + \infty \right)}\).
Ponieważ:
\(\displaystyle{ \left( - \infty \right) \neq \left( + \infty \right),}\)
to ciąg \(\displaystyle{ \left( S_n\right) _{n \in \NN}}\) nie ma granicy,
i iloczyn:
\(\displaystyle{ \prod_{n \in \NN} a}\) nie ma granicy.
Rozważmy teraz przypadek (najciekawszy):
\(\displaystyle{ a \in \left( -1,0\right).}\)
Wtedy kolejne iloczyny skończone będą równe, (bo ten iloczyn uogólniony- jest to iioczyn o wyrazie ogólnym będącym ciągiem stałym), a zatem te początkowe iloczyny będą równe:
\(\displaystyle{ a, a ^{2}, a ^{3},\ldots}\)
Ale \(\displaystyle{ a<0}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| a\right|= -a}\), czyli te kolejne wyrazy będą równe:
\(\displaystyle{ -\left| a\right|, \left| a\right| ^{2}, -\left| a\right| ^{3}, \left| a\right| ^{4}, \ldots}\)
Dla numerów nieparzystych ten ciąg będzie zbiegał do \(\displaystyle{ 0}\) po wartościach dodatnich, a dla numerów parzystych ten ciąg będzie zbiegał do \(\displaystyle{ -0=0}\) po wartościach ujemnych, ale musimy to udowodnić.
Wykażemy, że:
\(\displaystyle{ S _{2n}= - \left| a\right| ^{2n+1}}\), dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\).
Wykazujemy to indukcyjnie, stosując zasadę indukcji dla liczb parzystych, w sposób analogiczny jak wcześniej.
A zatem, dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\), mamy:
\(\displaystyle{ S _{2n+1}= S _{2n} \cdot a= -\left| a\right| ^{2n+1} \cdot a= \left| a \right| ^{2n+1} \cdot \left( -a\right)\stackrel{-a= \left| a\right| }= \left| a\right| ^{2n+2}.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ -1<a<0}\), to:
\(\displaystyle{ 0<\left| a\right|<1.}\)
A zatem podciąg \(\displaystyle{ \left( S _{2n+1}\right) _{n \in \NN} }\) złożony z wyrazów o numerach nieparzystych dąży do \(\displaystyle{ 0}\).
A podciąg \(\displaystyle{ \left( S_{2n} \right) _{n \in \NN}}\), ciągu \(\displaystyle{ \left( S_n\right) _{n \in \NN},}\) który jest określony jako:
\(\displaystyle{ S _{2n}= - \left| a\right| ^{2n+1},}\)
dąży do \(\displaystyle{ -0=0}\),
Wykażemy teraz, że każdy podciąg ciągu \(\displaystyle{ S_n}\) dąży do zera.
Niech \(\displaystyle{ \left( b_n\right) _{n \in \NN}}\) będzie podciągiem ciągu \(\displaystyle{ \left( S_n\right) _{n \in \NN}}\).
Ponieważ jest to ciąg ( ciąg nieskończony), więc w tym ciągu \(\displaystyle{ \left( b _n\right)}\) jest nieskończenie wiele wyrazów postaci \(\displaystyle{ \left( S _{2n} \right) _{n \in \NN}}\) (czyli wyrazów o numerach parzystych), lub w tym ciągu \(\displaystyle{ b}\) jest nieskończenie wiele wyrazów o numerach nieparzystych.
W pierwszym przypadku ciąg \(\displaystyle{ \left( b_n\right) }\) jest podciągiem ciągu \(\displaystyle{ \left( S _{2n} \right) _{n \in \NN}}\); a w drugim przypadku ciąg \(\displaystyle{ \left( b_n\right)}\) jest podciągiem ciągu \(\displaystyle{ \left( S _{ 2n+1 } \right) _{n \in \NN}.}\)
Jeśli ciąg \(\displaystyle{ \left( b_n\right)}\) jest podciągiem ciągu \(\displaystyle{ \left( S _{2n+1} \right)}\), który dąży do zera, to wtedy każdy podciąg tego ciągu musi dążyć do zera, czyli w szczególności ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) dąży do zera.
Jeśli zaś ciąg \(\displaystyle{ \left( b_n\right)}\) jest podciągiem ciągu \(\displaystyle{ \left( S _{2n} \right) _{n \in \NN}}\), który dąży do \(\displaystyle{ - \left[ \lim_{ n\to + \infty } S _{2n+1} \right] =-0=0}\), więc ciąg \(\displaystyle{ \left( b_n\right)}\) dąży do zera.
Otrzymujemy zatem, że każdy podciąg \(\displaystyle{ \left( b_n\right)}\) ciągu \(\displaystyle{ \left( S_n\right) }\) dąży do zera, a zatem również ciąg \(\displaystyle{ \left( S_n\right) }\) dąży do zera, i:
\(\displaystyle{ \prod_{n \in \NN} a= \lim_{ n\to + \infty } S_n= 0}\).
Jeśli \(\displaystyle{ a=0}\), to ponieważ \(\displaystyle{ 0 \cdot 0=0}\), to przez prostą indukcję:
\(\displaystyle{ \underbrace{0 \cdot 0 \cdot \ldots \cdot 0}_{n \hbox{ zer}}=0,}\)
a zatem:
\(\displaystyle{ \prod_{n \in \NN} 0= \lim_{ n\to + \infty }0=0.}\)
A jeśli \(\displaystyle{ a \in \left( 0,1\right)}\), to:
\(\displaystyle{ \prod_{n \in \NN} a= \lim_{ n\to + \infty } a ^{n}=0.}\)
A jeśli \(\displaystyle{ a \in \left( 1, + \infty \right)}\), to:
\(\displaystyle{ \prod_{n \in \NN} a = \lim_{ n\to + \infty } a ^{n}= + \infty. \square}\)
Kocham podstawy matematyki, po wieczne czasy. Zbadałem też zbieżność szeregów, oraz ich sumy, ale interesują mnie tylko, podobnie jak dla iloczynów, interesują mnie tylko szeregi postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR;}\)
(inne szeregi mnie nie interesują
).Przypomnijmy, aby zdefiniować taki szereg, definiujemy najpierw ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \left( S_n\right)}\), dany jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} S_0= a \in \RR;\\ S _{n+1}= S_n+a \in \RR. \end{cases} }\)
Jeśli \(\displaystyle{ a=0}\), to pierwsza suma częściowa jest równa \(\displaystyle{ 0}\), następna suma jest równa: \(\displaystyle{ 0+0=0}\), więc przez prostą indukcję otrzymamy, że:
\(\displaystyle{ \underbrace{0+0+\ldots+0}_{n \hbox{ zer }}= 0,}\)
a zatem:
\(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} 0= \lim_{ n\to + \infty }0=0.}\)
A jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0}\), to:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } a=a \neq 0,}\)
a zatem, dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\), szereg \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} a}\) nie spełnia warunku koniecznego, a zatem jest rozbieżny (ale może mieć sumę równą \(\displaystyle{ \left( - \infty \right)}\) lub równą \(\displaystyle{ \left( + \infty \right)}\) ).
A więc:
Jeśli \(\displaystyle{ a>0}\), to z zasady Archimedesa istnieje \(\displaystyle{ n \in \NN}\), takie, że: \(\displaystyle{ n \cdot a>1}\); i wtedy, dla każdego \(\displaystyle{ m \in \left\{ 2,3,4, \ldots\right\}}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ m \cdot \left( n \cdot a\right)= \left( m \cdot n\right) \cdot a>m}\),
i ponieważ \(\displaystyle{ \left( m \cdot n\right)}\), jako iloczyn dwóch liczb naturalnych, jest liczbą naturalną, to:
\(\displaystyle{ \sum_{k \in \NN} a= \lim_{ k\to + \infty } k \cdot a= + \infty.}\)
A dla \(\displaystyle{ a<0}\), mamy \(\displaystyle{ \left| a\right|=-a}\), a zatem :
\(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} a= \lim_{ n\to + \infty } \left( n \cdot a\right)= \lim_{ n\to + \infty } \left[ n \cdot \left( -a\right) \cdot \left( -1\right) \right]= \lim_{ n\to + \infty } \left( -n \cdot \left| a\right| \right) =}\)
więc ponieważ \(\displaystyle{ \left| a\right|>0}\), więc z zasady Archimedesa otrzymujemy numer naturalny \(\displaystyle{ n,}\) taki, że \(\displaystyle{ n \cdot \left| a\right|>1}\), a ponieważ iloczyn dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną, więc również istnieje taki numer naturalny \(\displaystyle{ m}\), że: \(\displaystyle{ m \cdot \left| a\right|>2}\), oraz istnieje takie \(\displaystyle{ m'}\) naturalne, że \(\displaystyle{ m' \cdot \left| a\right| >3, \ldots}\); a więc ciąg:
\(\displaystyle{ b_k= k \cdot \left| a\right|}\);
dąży do \(\displaystyle{ \left( + \infty \right) }\), a zatem:
\(\displaystyle{ \sum_{k \in \NN} a= \lim_{ k\to + \infty } \left( - k \cdot \left| a\right|\right) = \left( - \infty\right) .\square}\)
