ciąg geometryczny
-
MaH
ciąg geometryczny
Nieskończony ciąg liczbowy (an) jest określony wzorem an=4n-31, n=1,2,3,... .Wyrazy ak,ak+1, ak+2 danego ciągu (an), wzięte w takim porządku, powiększono: wyraz ak o 1, wyraz ak+1 o 3 oraz wyraz ak+2 o 23. W ten sposób otrzymano trzy pierwsze wyrazy pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz k oraz czwarty wyraz tego ciągu geometrycznego.
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
ciąg geometryczny
Ciąg, którego wzór podajesz jest arytmetyczny więc:
\(\displaystyle{ a_{k}=4k-31}\)
\(\displaystyle{ a_{k+1}=4(k+1)-31}\)
\(\displaystyle{ a_{k+2}=4(k+2)-31}\) teraz te wyrazy musisz odpowiednio powiększyć aby były wyrazami ciągu geometrycznego. Tak więc wyznaczając trzy pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego otzrymujesz:
\(\displaystyle{ a_{1}=4k-31+1=4k-30}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=4(k+1)-31+3=4k+4-28=4k-24}\)
\(\displaystyle{ a_{3}=4(k+2)-31+23=4k+8-8=4k}\)
ciag geometryczny ma to do siebie, żw iloraz trzeciego wyrazu przez drugi jest równy ilorazowi drugiego wyrazu przez pierwszy tak więc:
\(\displaystyle{ \frac{4k}{4k-24}=\frac{4k-24}{4k-30}}\) z tego równania wychodzi, że k=8 a czwarty wyraz ciągu geometrycznego wynosi 128
\(\displaystyle{ a_{k}=4k-31}\)
\(\displaystyle{ a_{k+1}=4(k+1)-31}\)
\(\displaystyle{ a_{k+2}=4(k+2)-31}\) teraz te wyrazy musisz odpowiednio powiększyć aby były wyrazami ciągu geometrycznego. Tak więc wyznaczając trzy pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego otzrymujesz:
\(\displaystyle{ a_{1}=4k-31+1=4k-30}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=4(k+1)-31+3=4k+4-28=4k-24}\)
\(\displaystyle{ a_{3}=4(k+2)-31+23=4k+8-8=4k}\)
ciag geometryczny ma to do siebie, żw iloraz trzeciego wyrazu przez drugi jest równy ilorazowi drugiego wyrazu przez pierwszy tak więc:
\(\displaystyle{ \frac{4k}{4k-24}=\frac{4k-24}{4k-30}}\) z tego równania wychodzi, że k=8 a czwarty wyraz ciągu geometrycznego wynosi 128
-
vaynard
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 15 lis 2005, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Pomógł: 2 razy
ciąg geometryczny
a[k]+1 , a[k+1]+3 , a[k+2]+23 maja tworzyc ciag geometryczny czyli musi istniec r takie ze
a[k+1]+3=(a[k]+1)*r oraz a[k+2]+23=(a[k]+1)*r*r
wiemy tez ze skoro a[n]=4n-31 to a[k]=4k-31 mozna to wiec stawic do 2 rownan powyzej
otrzymamy
4k+4-31+3=(4k-31+1)r
oraz
4k+8-31+23=(4k-31+1)r*r
Nalezy rozwiazac ten uklad rownan ze wzgledu na r i k:
4k-24=(4k-30)r \(\displaystyle{ \wedge}\) 4k=(4k-30)*r*r
\(\displaystyle{ r=\frac{4k-24}{4k-30}\,\wedge\, 4k=(4k-30)*r*r}\)
wstawie r do drugiego rownania i rozwiaze:
\(\displaystyle{ \frac{(4k-24)^2}{(4k-30)^2}*(4k-30)=4k}\)
\(\displaystyle{ 16(k-6)^2=(4k)(4k-30)}\)
16(k*k-12k+36)=16k*k-120k
16*36=16*12k-120k
72k=16*36
wiec k=8
pierwszy wyraz tego nowego ciagu to
b[1]=a[8]+1=32-31+1=2
a czwarty to b[4]=b[1]*r*r*r
poniewaz \(\displaystyle{ r=\frac{4k-24}{4k-30}}\) dla k=8
to \(\displaystyle{ r=\frac{8}{2}=4}\) wiec b[4]=2*4*4*4=128
Ostatecznie k=8 czwarty wyrz to 128
Edit by Arbooz: Przypominam o używaniu texa. Zapewniam, to nie boli.
a[k+1]+3=(a[k]+1)*r oraz a[k+2]+23=(a[k]+1)*r*r
wiemy tez ze skoro a[n]=4n-31 to a[k]=4k-31 mozna to wiec stawic do 2 rownan powyzej
otrzymamy
4k+4-31+3=(4k-31+1)r
oraz
4k+8-31+23=(4k-31+1)r*r
Nalezy rozwiazac ten uklad rownan ze wzgledu na r i k:
4k-24=(4k-30)r \(\displaystyle{ \wedge}\) 4k=(4k-30)*r*r
\(\displaystyle{ r=\frac{4k-24}{4k-30}\,\wedge\, 4k=(4k-30)*r*r}\)
wstawie r do drugiego rownania i rozwiaze:
\(\displaystyle{ \frac{(4k-24)^2}{(4k-30)^2}*(4k-30)=4k}\)
\(\displaystyle{ 16(k-6)^2=(4k)(4k-30)}\)
16(k*k-12k+36)=16k*k-120k
16*36=16*12k-120k
72k=16*36
wiec k=8
pierwszy wyraz tego nowego ciagu to
b[1]=a[8]+1=32-31+1=2
a czwarty to b[4]=b[1]*r*r*r
poniewaz \(\displaystyle{ r=\frac{4k-24}{4k-30}}\) dla k=8
to \(\displaystyle{ r=\frac{8}{2}=4}\) wiec b[4]=2*4*4*4=128
Ostatecznie k=8 czwarty wyrz to 128
Edit by Arbooz: Przypominam o używaniu texa. Zapewniam, to nie boli.