wikipedia pisze: termin indukcja matematyczna używany jest na określenie szczególnej metody dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych
Jak prosto i skutecznie za pomocą indukcji udowadniać wzory bądź podzielność. Mam nadzieje ze po przeczytaniu MOJEGO poradnika chodź w najmniejszym stopniu będzie Ci łatwiej
1Udowadnianie wzorów
przypuśćmy ze mamy do udowodnienia (na klasówce ??: ) prawdziwość wzoru, przy założeniu że \(\displaystyle{ n N_+}\) gdy tak nie jest sprawdzamy od zera lub od danej liczby
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 2}+ \frac{1}{2 3}+ ..+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}}\)
pierwsze co robimy to sprawdzamy czy równanie sie zgadza (lewa i prawa strona) dla pierwszej liczby w naszym wypadku to 1 ale może być inna (bierzemy pierwszy wyraz i za n podstawiamy 1)
\(\displaystyle{ L=\frac{1}{1 2}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}}\)
jak widac Lewa strona = Prawej
2. Piszemy założenie
Po sprawdzeniu zgodności wzoru dla pierwszej liczby (gdy sie nie zgadza niema sensu pisania dalej )
napisanie założenia polega na przepisaniu przykładu wiec w tym wypadku
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 2}+ \frac{1}{2 3}+ ..+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}}\)
3. Teza
po udowodnieniu dla pierwszej liczby i przepisaniu przykładu przychodzi czas na tezę
pisanie tezy polega na przepisaniu lewej strony oraz dodaniu następnego członu zaś po lewej stronie do kazdego n dodajemy 1 (może dziwnie brzmi ale to jest proste)
rozpisze to stopniowo
\(\displaystyle{ L_{strona}=\frac{1}{1 2}+ \frac{1}{2 3}+ ..+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)[(n+1)+1]}}\)
\(\displaystyle{ P_{strona}=\frac{n+1}{(n+1)+1}}\)
łącząc to mamy koncowa teze
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 2}+ \frac{1}{2 3}+ ..+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{(n+2)}}\)
4. dowód
przechodzimy do najważniejszej części czyli dowodu
w dowodzie bierzemy przepisujemy tezę i oraz szukamy w niej założenia
\(\displaystyle{ \underbrace{\frac{1}{1 2}+ \frac{1}{2 3}+ ..+\frac{1}{n(n+1)}}_{zalozenie}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{(n+2)}}\)
teraz zamiast lewej strony założenia piszemy prawą
\(\displaystyle{ \frac{n}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}}\)
następnie zostaje nam tylko matematyczne przekształcenia (najłatwiej sie pomylić )
najpierw doprowadzamy do wspólnego mianownika prawa strone zostawiamy w spokoju
\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)^2(n+2)}=\frac{n+1}{(n+2)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{(n+2)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{(n+2)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{(n+2)}=\frac{n+1}{(n+2)}}\)
no i mamy udowodnione sadze ze jasno to rozpisałem.
5. zadania
najwiecej zadan dotyczących indukcji znajduje sie na forum w TYM dziale
dodatkowe zadania
1\(\displaystyle{ 1+5+9+...(4n-3)=n(2n-1)}\)
2\(\displaystyle{ 1 4 +2 7+ 3 10+...+n(3n+1)=n(n+1)^2}\)
BTW starałem sie napisać najbardziej łopatologicznie jak sie da zeby było zrozumiałe dla wszystkich .
o udowadnianiu podzielności napisze jutro (czyt. w przyszłosci).
zauwazone błędy (składniowe jak i merytoryczne) prosze zgłaszać na PW