Trzeci powód wiąże się z tzw wzorem dwumiennym o czym ponizej.... wzór ten jest jak łatwo zobaczyc tylko pewnym szczeg. przypadkiem...,a na koniec trzeba omówić dobrze znany trójkat , tj specyficzne ułozenie wszystkich kolejnych s.N w pewien ciekawy sposób...etc
tj.
Def:
\(\displaystyle{ {n \choose k}= \frac{n!}{k! (n-k)!}}\) i .... \(\displaystyle{ 0 \leq k \leq n}\), ... i \(\displaystyle{ n \in N}\). O ile n> k to s.N jest równy zero... Uwaga: ...Uogolnienie :polega ono na dopuszczeniu liczb rzeczywistych i ..zespolonych jako "górnych " elementów. Tak "wzmocniony" s.N jest wszak po prostu ...wielomianem zmiennej x, stopnia k, którego współcz. wyrazaja się przez tzw. liczby Stirlinga s(k,j) I go rodzaju, co wyraża sie tak:
tj:
\(\displaystyle{ {x \choose k}= \frac{x(x-1).....(x-(k-1))}{k!}= \sum_{j=0}^k \frac{s(k,j)}{k!} x^j}\)
dwumian Newtona jest to potoczna nazwa wzoru wyrazającego naturalną potęgę dwumianu, tj sumy dwóch składników...,przez potęgi jego składników... Po podstawieniu x=y=1, otzrymuje się wzór (a), zas gdy x=1, y=-1 wzór (b)..Liczba k element. kombinacji zbioru n+m elementowego spełnia zależność(c), którą zwiemy tożsam Cauchego. tj wzór (c). Ponadto zachodza Cztery wazne formuły wzory (A-D), ...i tak :
\(\displaystyle{ (x+y)^n =\sum_{k=0}^n x^ky^{n-k}}\)
(c) \(\displaystyle{ {n+m \choose k}= \sum_{r=0}^k {n\choose r}{m \choose k-r}}\)
(a) \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n =2^n}\)
(b) \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n (-1)^k =0}\)
i.....
\(\displaystyle{ {n \choose k}= {n \choose n-k}}\)
(A) \(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1}= \frac{n+1}{k+1} }\)
(B)\(\displaystyle{ {n \choose k+1}= \frac{n-k}{k+1}}\)
(C) \(\displaystyle{ {n \choose m} {m \choose k}= {n-k \choose m-k}}\)
(D) \(\displaystyle{ \sum_{r=k}^n {r\choose k} = {n+1 \choose k+1}}\)
Wzór dwumianowy. można uogółnienic, wyrazą to ponizszy wzór, sumowanie odbywa się po wszystkich rozkładach liczby n, tj. \(\displaystyle{ n_j q 0}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{j} n_j=n}\), zas wartość symbolu \(\displaystyle{ {n \choose n_1....n_k}}\) jest równa ...\(\displaystyle{ \frac{n!}{n_1 !....n_k !}}\)
\(\displaystyle{ (x_1+....+x_k)^n =\sum {n \choose n_1....n_k}x_1^{n_1}.....x_k^{n_k}}\)
trójkat Pascala
Pierwszy wiersz i kolumna tego trójkąta złożone są z samych jedynek. Następne wiersze wypełnia się w ten sposób, że każda liczba w nim jest sumą liczby umieszczonej na lewo od niej i liczby jaka jest nad nią. Poza tym mamy tu symetryczna budowe przekątnych biegnących z lewej strony od dołu w prawą strone do góry. Suma liczb na każdej przekątnej jest dwukrotnością sumy liczb na przekątnej która ja poprzedza...etc. warto "znależć" wypisane wyzej wzory w t.P. i na koniec... liczby Fibonacciego mozna uzyskać tu wg reguły konia szachowego...-tzw wzor Lukasa p. rys. Liczba jaka znajduje się w m-tym wierszu i n-tej kolumnie ma postać:
\(\displaystyle{ t_{m,n}=\frac{m(m+1)....(m+n-2)}{(n-1)!}}\)