Matematyka.pl

Wszyscy (lub prawie wszyscy) znają silnię \(\displaystyle{ n!}\), jednak zapewne niewielu zna słabnię \(\displaystyle{ n?}\), która być może okaże się przydatna w wielu dziedzinach matematyki, a jak nie to i tak warto ją znać. Na początek definicja:

Słabnia Rysza n? (czytamy n-słabnia) jest określona dla liczb naturalnych, definiujemy ją następująco:
\(\displaystyle{ 0?=1\\1?=1\\n?=(n-1)?\cdot n^{(-1)^{n+1}}}\)
czyli inaczej
\(\displaystyle{ n?=\left\{\begin{array}{l}1,\: n\in\{0;1\}\\ (n-1)?n,\; n=2k+1,\: k\in \mathbb{N}_+ \\ \frac{(n-1)?}{n},\; n=2k,\: k\in \mathbb{N}_+ \end{array}\right.}\)
jak łatwo zauważyć dla \(\displaystyle{ n\geq 2}\)
\(\displaystyle{ n?={\left({\frac{n!!}{(n-1)!!}}\right)}^{(-1)^{n+1}}}\)

Teraz kilka własności (takich oczywistych):
- dla \(\displaystyle{ n\geq 2 : n?\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{N}}\)
- \(\displaystyle{ n?}\) ma rozwinięcie dziesiętne skończone
- \(\displaystyle{ n?\cdot 2^n \in\mathbb{N}}\) (co częściowo wynika z poprzedniej własności)
- dla n parzystych \(\displaystyle{ n?+(n+1)?=(n+2)n?}\) (czyli tak jak w silnii)
- dla n nieparzystych \(\displaystyle{ n?+(n+1)?=(n+2)?}\) (czyli tak jak w ciągu Fibonacciego)
- granica ciągu określonego wzorem \(\displaystyle{ a_n=n?}\) nie istnieje

i to tyle, jak ktos znajdzie cos ciekawego, to niech tu dopisze.