Model czasoprzestrzeni Friedmana-Robertsona-Walkera
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Model czasoprzestrzeni Friedmana-Robertsona-Walkera
Poprawiłbym zapis równań używając środowiska align, np.:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
\Gamma^{0}_{11} &=-\frac{1}{2g_{00}}\cdot \frac{\partial g_{11}}{\partial x^{0}}=-\frac{1}{2\cdot\left(-1\right)}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{a^2\left(t\right)}{1-kr^2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a\left(t\right)a'\left(t\right)}{1-kr^2}= \frac{a\left(t\right)a'\left(t\right)}{1-kr^2}\\ \Gamma^{0}_{22} & =-\frac{1}{2g_{00}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{0}}=-\frac{1}{2\cdot \left(-1\right)}\cdot \frac{\partial}{\partial t} \left(a^2\left(t\right)\cdot r^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2a\left(t\right)a'\left(t\right)r^2=a\left(t\right)a'\left(t\right)r^2\\
\Gamma^{1}_{22} &=-\frac{1}{2g_{11}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{1}}=-\frac{1}{\frac{2a^2\left(t\right)}{1-kr^2}}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(a^2\left(t\right)r^2\right)=-\frac{1-kr^2}{2a^2\left(t\right)}\cdot 2a^2\left(t\right)r=-r\left(1-kr^2\right)\\
\Gamma^{3}_{30}& =\frac{1}{2g_{33}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{0}}=\frac{1}{2a^2\left(t\right)r^2\sin^2\theta}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(a^2\left(t\right)r^2\sin^2\theta\right)=\\ &=\frac{1}{2a^2\left(t\right)r^2\sin^2\theta}\cdot 2a\left(t\right)a'\left(t\right)r^2\sin^2\theta=\frac{a'\left(t\right)}{a\left(t\right)}\\
\end{align*}$}\)
itd. aby zwiększyć czytelność zapisu.
Na początku jest drobna nieścisłość w zapisie z użyciem "d".
Na koniec taka myśl, że ten temat w sumie mógłby być dobrą bazą dla innego artykułu, który omawiałby symbole Christoffela. Prezentujesz w końcu dość szczegółowe i jednak nieco żmudne rachunki, które w sam raz nadają się na jakiś przykład do samodzielnego przeliczenia.
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
\Gamma^{0}_{11} &=-\frac{1}{2g_{00}}\cdot \frac{\partial g_{11}}{\partial x^{0}}=-\frac{1}{2\cdot\left(-1\right)}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{a^2\left(t\right)}{1-kr^2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a\left(t\right)a'\left(t\right)}{1-kr^2}= \frac{a\left(t\right)a'\left(t\right)}{1-kr^2}\\ \Gamma^{0}_{22} & =-\frac{1}{2g_{00}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{0}}=-\frac{1}{2\cdot \left(-1\right)}\cdot \frac{\partial}{\partial t} \left(a^2\left(t\right)\cdot r^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2a\left(t\right)a'\left(t\right)r^2=a\left(t\right)a'\left(t\right)r^2\\
\Gamma^{1}_{22} &=-\frac{1}{2g_{11}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{1}}=-\frac{1}{\frac{2a^2\left(t\right)}{1-kr^2}}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(a^2\left(t\right)r^2\right)=-\frac{1-kr^2}{2a^2\left(t\right)}\cdot 2a^2\left(t\right)r=-r\left(1-kr^2\right)\\
\Gamma^{3}_{30}& =\frac{1}{2g_{33}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{0}}=\frac{1}{2a^2\left(t\right)r^2\sin^2\theta}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(a^2\left(t\right)r^2\sin^2\theta\right)=\\ &=\frac{1}{2a^2\left(t\right)r^2\sin^2\theta}\cdot 2a\left(t\right)a'\left(t\right)r^2\sin^2\theta=\frac{a'\left(t\right)}{a\left(t\right)}\\
\end{align*}$}\)
itd. aby zwiększyć czytelność zapisu.
Na początku jest drobna nieścisłość w zapisie z użyciem "d".
Na koniec taka myśl, że ten temat w sumie mógłby być dobrą bazą dla innego artykułu, który omawiałby symbole Christoffela. Prezentujesz w końcu dość szczegółowe i jednak nieco żmudne rachunki, które w sam raz nadają się na jakiś przykład do samodzielnego przeliczenia.
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Model czasoprzestrzeni Friedmana-Robertsona-Walkera
W zasadzie ten temat jest pierwszym z serii kilku dot. kosmologii, które zamierzam zamieścić w najbliższych miesiącach. W kolejnych tylko podam symbole Christoffela, a do sposobu ich obliczania będę odsyłał do tego tematu.
Postaram się w najbliższym czasie poprawić zapis z użyciem środowiska align.
Postaram się w najbliższym czasie poprawić zapis z użyciem środowiska align.
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Model czasoprzestrzeni Friedmana-Robertsona-Walkera
Niby detal, a jaka różnica:
\(\displaystyle{ a^2(t)}\)
\(\displaystyle{ a^2\left( t\right)}\)
Widać, że jak nawiasy są skalowane to powstaje nieładny odstęp.
\(\displaystyle{ a^2(t)}\)
\(\displaystyle{ a^2\left( t\right)}\)
Widać, że jak nawiasy są skalowane to powstaje nieładny odstęp.
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Model czasoprzestrzeni Friedmana-Robertsona-Walkera
Dobra, (chyba) wszystkie nawiasy i równania poprawione
Jak jeszcze coś się znajdzie to zostawiam to sobie na jutro, sądząc po prognozie pogody - nici z wypadu nad jeziorko , więc będę miał czas na poprawki.
Jak jeszcze coś się znajdzie to zostawiam to sobie na jutro, sądząc po prognozie pogody - nici z wypadu nad jeziorko , więc będę miał czas na poprawki.