Hipoteza Continuum
Jak pisałem ostatnio, zbiory mogą się legitymować różną mocą [lub jak wolicie, relacja równości mocy dzieli zbiory na klasy abstrakcji, których moc jest pewną liczbą porządkową].
Otóż wiąże się z tym następujący problem, zwany hipotezą continuum.
HIPOTEZA CONTINUUM
Każdy nieprzeliczalny zbiór punktów prostej jest zbiorem równej mocy ze zbiorem wszystkich punktów prostej.
Otóż o co tak naprawdę pyta ta hipoteza? Jak wiadomo [a dowód podam w osobnym poście] liczby naturalne należą do innej klasy abstrakcji niż rzeczywiste, czyli mówiąc inaczej jest ich mniej [cokolwiek to może oznaczać - a co dokładnie o tym w poście o równoliczności]. Pytanie jest następujące: czy istnieje zbiór o mocy mniejszej niż zbiór liczb rzeczywistych ale większej niż naturalnych, czy może nie?
...
Pytanie wydaje się cokolwiek dziwne...
Ale kiedy się w nie zagłebić, można powiedzieć, że zagadnienie pyta o pomost pomiędzy matematyką dyskretną i konkretną... Pyta, czy istnieje wedle przyjmowanych aksjomatów jakieś powiedzielibyśmy "brakujące ogniwo". Ważkość pytania można porównać z pytaniem o powiązanie praw makro i mikroświata.
Hipotezę Continuum postawił nikt inny jak sam Georg Cantor - twórca teorii mnogości. Co ciekawe - niemożliwość jej potwierdzenia czy zaprzeczenia doprowadzała go do szaleństwa i do wielu chwil zwątpienia w prawdziwość swojej teorii.
Na temat teorii głos zabrało wielu najwybitniejszych matematyków I połowy XX wieku, ponieważ jej dowiedzenie lub obalenie okazałoby się wielkim osiągnięciem matematyki.
Podam kilka opracowań dotyczących tej kwestii, a później jej rozstrzygnięcie [???]
1. [W. Sierpiński] "Hypotese du Continu" - Paryż 1934
2. [Gödel] O ile aksjomaty Zermelo są niesprzeczne, to hipoteza continuum również jest z nimi niesprzeczna.
3. [W. Sierpiński] Hipoteza continuum jest równoważna stwierdzeniu, że jeżeli z punktu O przestrzeni trójwymiarowej poprowadzimy trzy proste, wzajemnie prostopadłe: OX, OY, OZ, to zbiór wszystkich punktów przestrzeni jest suma trzech zbiorów: z których pierwszy jest skończony na każdej prostej, równoległej do OX, drugi jest skończony na każdej prostej, równoległej do OY, trzeci jest skończony na każdej prostej, równoległej do OZ
4.[Cohen, 1963] Prawidłowości lub fałszywości HC nie da się dowieść na gruncie standardowego zestawu aksjomatów Zermelo.
Zaskakujące... cóż...
...gdyby Cantor się o tym dowiedział, to by się mógł zdenerwować, ale to uczy, że w matematyce nie tylko liczy sie... TAK lub NIE, ale także co te słowa oznaczają..., w świetle jakich założeń są prezentowane. O tym i o określoności systemów aksjomatów w poście o Twierdzeniu Gödla - jednym z najdonioślejszych twierdzeń matematyki XX wieku.
Hipoteza Continuum
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Hipoteza Continuum
Nie podoba mi się początek tego hasła, nawiązujący do innego, niezbyt dobrego hasła "Liczby kardynalne".
Także zestaw "kilku opracowań" nie jest najlepszy.
JK
Także zestaw "kilku opracowań" nie jest najlepszy.
JK
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Hipoteza Continuum
Chwile sie zastanawialem czy przeniesc ten temat do archiwum no i powyższy post przeważył.
Artykuł nie spełnia obecnych wymagań dotyczących tematów w kompendium. Jak autor będzie chciał, aby temat wrócił to powinien go poprawić.
Artykuł nie spełnia obecnych wymagań dotyczących tematów w kompendium. Jak autor będzie chciał, aby temat wrócił to powinien go poprawić.