Wezmy funkcje ƒ ciagla, rózniczkowalna i całkowalną na przedziale \(\displaystyle{ \left[a,b \right]}\) i niech
\(\displaystyle{ f(x) q 0}\) dla \(\displaystyle{ x }\), wtedy pole opszaru polożonego pod krzywa ƒ, miedzy punktami a i b jest równe:
\(\displaystyle{ I=\int_a^b f(x)dx}\)
Dowód:
Podzielmy sobie dany przedzial na n czesci, wtedy pole pod krzywa jest w przyblizeniu rowne sumie pol prostakatow o bokach \(\displaystyle{ f(x_i)}\) i \(\displaystyle{ (x_i - x_{i-1})}\) czyli
\(\displaystyle{ I \sum_{i=1}^n f(x_i) (x_i - x_{i-1})}\)
Im mniejsze bedziemy brać cześci, tym to pole bedzie blizsze dokladnej wartosci, czyli gdy
\(\displaystyle{ (x_i - x_{i-1}) = \delta x_i \to 0}\), to wtedy:
\(\displaystyle{ I = \lim_{\delta x \to 0 } \sum_{i=1}^n f(x_i) \delta x_i,}\) albo
\(\displaystyle{ \\
I=\lim_{n \to } \sum_{i=1}^n f(x_i) \delta x_i}\)
Po zrozniczkowaniu danej rownosci otrzymamy;
\(\displaystyle{ I'= \lim_{n \to } \sum_{i=i}^n \frac{f(x_i+\delta x_i)-f(x_i )}{ \delta x_i} \delta x_i =
\lim_{n \to } \sum_{i=1}^n f(x_i+\delta x_i) - f(x_i )}\)
Oczywiscie \(\displaystyle{ f(x_i + \delta x_i ) = f(x_{i+1})}\) czyli
\(\displaystyle{ I' = \lim_{n \to } \sum_{i=1}^n f(x_{i+1}) - f(x_i)=
f(x_n)-f(x_{n-1})+f(x_{n-1})-....-f(x_2) + f(x_2) - f(x_1) = f(x_n) - f(x_1)}\)
\(\displaystyle{ x_1, \ x_n}\) sa koncami przedzialu a,b, z tego wniosek ze
\(\displaystyle{ x_1= a, \ x_n = b}\)
\(\displaystyle{ I'=f(b)-f(a)}\)
Scalkujac jeszcze nasze rownanie:
\(\displaystyle{ I = t f(b) - t f(a) = t_a^b f(x) \\
I=\int_a^b f(x)}\)
czego nalezalo dowiesc