Matematyka.pl

Szukałem na forum, ale nie znalazłem tego co mnie interesuje, więc może ktoś ma jakiś pomysł, w jaki sposób łatwo i szybko pokazać, że suma \(\displaystyle{ A + B}\) dwóch zbiorów względnie zwartych jest względnie zwarta, tak samo, że zbiór \(\displaystyle{ \alpha A}\) jest względnie zwarty. Mniej więcej wiem jak to pokazać, ale wydaje mi się, że można to zrobić łatwiej.

Funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)=x+y}\) jest ciągła. Rozważ \(\displaystyle{ f[\overline{A}\times\overline{B}]}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \overline{A+B} = f[\overline{A}\times\overline{B}]}\). Zbiór \(\displaystyle{ \overline{A}\times\overline{B}}\), jako produkt zbiorów zwartych, jest zwarty. Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest zwarty.

Podobnego tricku możesz użyć do \(\displaystyle{ \alpha\cdot A}\). Rozważ funkcję \(\displaystyle{ g(x) = \alpha x}\).

O coś takiego mi chodziło, dzięki wielkie.