Matematyka.pl

W jednym dowodzie z książki 'Co to jest matematyka' użyto takich dwóch dziwnych przejść dla zbiorów wypukłych na płaszczyźnie:
Jeśli z punktu \(\displaystyle{ A}\) do punktu \(\displaystyle{ B}\) na płaszczyźnię narysujemy krzywą (nad odcinkiem \(\displaystyle{ AB}\)), która to krzywa wraz z tym odcinkiem ogranicza obszar wypukły, i gdy każdy kąt \(\displaystyle{ AOB}\) wpisany w nasz łuk \(\displaystyle{ AOB}\) jest prosty, to wtedy łuk \(\displaystyle{ AOB}\) jest półokręgiem.
Dziwne, rozumiem, że dla półokręgu- wtedy każdy kąt wpisany weń jest prosty, ale dlaczego niby tylko półokrąg ma tą własność
I dlaczego dla wielokąta wypukłego jeśli wszystkie jego boki (których jest parzysta ilość) są równej długości i wszystkie jego wierzchołki leżą na pewnym okręgu, to jest to wielokąt foremny?? Jakieś dziwne są te sztuczki.

To można uzasadnić na poziomie geometrii elementarnej. Niech \(\displaystyle{ AB}\) będzie średnicą okręgu. Wówczas

1. dla każdego punktu \(\displaystyle{ P}\) wewnątrz okręgu (poza odcinkiem \(\displaystyle{ AB}\)) kąt \(\displaystyle{ \angle APB}\) jest rozwarty;
2. dla każdego punktu \(\displaystyle{ P}\) na zewnątrz okręgu (poza prostą \(\displaystyle{ AB}\)) kąt \(\displaystyle{ \angle APB}\) jest ostry.

Dowód.

1. Przedłużamy odcinek \(\displaystyle{ AP}\) do punktu \(\displaystyle{ O}\) przecięcia z okręgiem. Wtedy kąt \(\displaystyle{ \angle AOB}\) jest prosty, a kąt \(\displaystyle{ \angle APB}\) jest od niego większy na podstawie twierdzenia o kącie zewnętrznym.
2. Co najmniej jeden z odcinków \(\displaystyle{ AP}\), \(\displaystyle{ BP}\) ma punkt wspólny \(\displaystyle{ O}\) z okręgiem. Kąt \(\displaystyle{ \angle AOB}\) jest prosty, a kąt \(\displaystyle{ \angle APB}\) jest od niego mniejszy również na podstawie twierdzenia o kącie zewnętrznym.

Jakub Gurak pisze: ↑8 mar 2024, o 20:39 I dlaczego dla wielokąta wypukłego jeśli wszystkie jego boki (których jest parzysta ilość) są równej długości i wszystkie jego wierzchołki leżą na pewnym okręgu, to jest to wielokąt foremny?? Jakieś dziwne są te sztuczki.

De Villiers, Michael. "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons," Mathematical Gazette 95, marzec 2011, strony 102–107.