W jednym dowodzie z książki 'Co to jest matematyka' użyto takich dwóch dziwnych przejść dla zbiorów wypukłych na płaszczyźnie:
Jeśli z punktu \(\displaystyle{ A}\) do punktu \(\displaystyle{ B}\) na płaszczyźnię narysujemy krzywą (nad odcinkiem \(\displaystyle{ AB}\)), która to krzywa wraz z tym odcinkiem ogranicza obszar wypukły, i gdy każdy kąt \(\displaystyle{ AOB}\) wpisany w nasz łuk \(\displaystyle{ AOB}\) jest prosty, to wtedy łuk \(\displaystyle{ AOB}\) jest półokręgiem.
Dziwne, rozumiem, że dla półokręgu- wtedy każdy kąt wpisany weń jest prosty, ale dlaczego niby tylko półokrąg ma tą własność
I dlaczego dla wielokąta wypukłego jeśli wszystkie jego boki (których jest parzysta ilość) są równej długości i wszystkie jego wierzchołki leżą na pewnym okręgu, to jest to wielokąt foremny?? Jakieś dziwne są te sztuczki.
Zbiory wypukłe- dziwne sztuczki
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Zbiory wypukłe- dziwne sztuczki
To można uzasadnić na poziomie geometrii elementarnej. Niech \(\displaystyle{ AB}\) będzie średnicą okręgu. Wówczas
- dla każdego punktu \(\displaystyle{ P}\) wewnątrz okręgu (poza odcinkiem \(\displaystyle{ AB}\)) kąt \(\displaystyle{ \angle APB}\) jest rozwarty;
- dla każdego punktu \(\displaystyle{ P}\) na zewnątrz okręgu (poza prostą \(\displaystyle{ AB}\)) kąt \(\displaystyle{ \angle APB}\) jest ostry.
- Przedłużamy odcinek \(\displaystyle{ AP}\) do punktu \(\displaystyle{ O}\) przecięcia z okręgiem. Wtedy kąt \(\displaystyle{ \angle AOB}\) jest prosty, a kąt \(\displaystyle{ \angle APB}\) jest od niego większy na podstawie twierdzenia o kącie zewnętrznym.
- Co najmniej jeden z odcinków \(\displaystyle{ AP}\), \(\displaystyle{ BP}\) ma punkt wspólny \(\displaystyle{ O}\) z okręgiem. Kąt \(\displaystyle{ \angle AOB}\) jest prosty, a kąt \(\displaystyle{ \angle APB}\) jest od niego mniejszy również na podstawie twierdzenia o kącie zewnętrznym.
- Hir
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 7 mar 2024, o 21:07
- Płeć: Kobieta
- wiek: 29
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 25 razy
Re: Zbiory wypukłe- dziwne sztuczki
De Villiers, Michael. "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons," Mathematical Gazette 95, marzec 2011, strony 102–107.Jakub Gurak pisze: ↑8 mar 2024, o 20:39 I dlaczego dla wielokąta wypukłego jeśli wszystkie jego boki (których jest parzysta ilość) są równej długości i wszystkie jego wierzchołki leżą na pewnym okręgu, to jest to wielokąt foremny?? Jakieś dziwne są te sztuczki.