Witam, czy mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu zadań? Mam z nimi trochę kłopotu:
1) Czy przestrzeń funkcji C[-1,1] z normą \(\displaystyle{ ||f|| = ( \int_{0}^{1}|f(x)|^3 dx )^{\frac{1}{3}}}\) jest przestrzenią unormowaną? Czy jest p.Banacha? Czy jest ośrodkowa?
2) \(\displaystyle{ Tf = e^{-x^2}f(7+2x)}\) jest operatorem takim, że \(\displaystyle{ T: L^2(R) \rightarrow L^2(R)}\), policzyć jego normę.
Byłbym wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu chociaż części...
zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość
To po kolei.
1) Sprawdzamy czy dana funkcja jest normą.
\(\displaystyle{ \|f\|=0 \Rightarrow f=0}\) - korzystamy z ciągłości \(\displaystyle{ f.}\)
\(\displaystyle{ \|\alpha f\|=|\alpha|\|f\|}\) - oczywiste.
Warunek trójkąta - korzystamy z nierówności Minkowskiego.
1) Sprawdzamy czy dana funkcja jest normą.
\(\displaystyle{ \|f\|=0 \Rightarrow f=0}\) - korzystamy z ciągłości \(\displaystyle{ f.}\)
\(\displaystyle{ \|\alpha f\|=|\alpha|\|f\|}\) - oczywiste.
Warunek trójkąta - korzystamy z nierówności Minkowskiego.
zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość
Dla \(\displaystyle{ f\in C[a,b], p \ge 1}\) oznaczmy \(\displaystyle{ ||f||_p =\left( \int_{a}^{b} |f(t)|^p dt\right)^{\frac{1}{p}}}\) oraz \(\displaystyle{ ||f||_{\infty} =\sup_{s\in [a,b]} |f(s)|}\)
Można łatwo pokazać, że
1. Przestrzeń unormowana \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_{\infty} )}\) jest przestrzenią Banacha.
2. Z Twierdzenia Weierstrassa wynika, że przestrzeń unormowana \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_{\infty} )}\) jest ośrodkowa.
3. Norma \(\displaystyle{ ||\cdot ||_p}\) jest istotnie słabsza od normy \(\displaystyle{ ||\cdot ||_{\infty}}\) na przestrzeni \(\displaystyle{ C[a,b]}\)
Zatem z \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\) oraz twierdzenia o wykresie domkniętym wynika, że przestrzeń \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_p )}\) nie jest zupełna. Natomiast z \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) wynika, że przestrzeń \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_p )}\) jest ośrodkowa.
Można łatwo pokazać, że
1. Przestrzeń unormowana \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_{\infty} )}\) jest przestrzenią Banacha.
2. Z Twierdzenia Weierstrassa wynika, że przestrzeń unormowana \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_{\infty} )}\) jest ośrodkowa.
3. Norma \(\displaystyle{ ||\cdot ||_p}\) jest istotnie słabsza od normy \(\displaystyle{ ||\cdot ||_{\infty}}\) na przestrzeni \(\displaystyle{ C[a,b]}\)
Zatem z \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\) oraz twierdzenia o wykresie domkniętym wynika, że przestrzeń \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_p )}\) nie jest zupełna. Natomiast z \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) wynika, że przestrzeń \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_p )}\) jest ośrodkowa.
zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość
A może ktoś wie, jak policzyć tę normę? Bo mi niestety udaje się tylko co najwyżej ograniczyć, ale potem nie potrafię znaleźć takiej funkcji f(x), przy której norma jest wybijana...
-
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość
Zauważ, że \(\displaystyle{ e^{-x^2}}\) jest "duże" w otoczeniu zera i weź ciąg funkcji o całce równej 1 i zerowych poza coraz mniejszymi otoczeniami zera. Nie mam teraz pojęcia, czy istnieje jedna funkcja, która dokładnie - jak to ująłeś - "wybija" normę.korni32 pisze:A może ktoś wie, jak policzyć tę normę? Bo mi niestety udaje się tylko co najwyżej ograniczyć, ale potem nie potrafię znaleźć takiej funkcji f(x), przy której norma jest wybijana...
Edit: Nie doczytałem, że ten operator jeszcze składa \(\displaystyle{ f}\) z przekształceniem afinicznym, także musisz to trochę zmodyfikować. Ale pomysł jest ten sam.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość
Jakie wyszło ograniczenie?korni32 pisze:A może ktoś wie, jak policzyć tę normę? Bo mi niestety udaje się tylko co najwyżej ograniczyć, ale potem nie potrafię znaleźć takiej funkcji f(x), przy której norma jest wybijana...