Tw von Neumanna dowód nie rozumiem

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1505
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 338 razy
Pomógł: 22 razy

Tw von Neumanna dowód nie rozumiem

Post autor: Niepokonana »

Hej
Proszę mi wyjaśnić, jak się dowodzi tw. Neumanna o równaniu \(\displaystyle{ x-Tx=y}\), gdzie \(\displaystyle{ T\in B(X)}\) jest operatorem liniowym ograniczonym o normie mniejszej od jeden. Udowadniamy, że to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest to suma iteracyjni operatora \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}T^n x }\).

Musimy udowodnić, że \(\displaystyle{ I-T}\) to bijekcja. Dowód różnowartościowości ogarniam, udowadniamy, że jądro odwzorowania to wektor zerowy i wychodzi. Ale potem mamy udowodnić, że jest to surjekcja i tych sztuczek to ja nie rozumiem.
Szukamy \(\displaystyle{ y_0 \in X }\) takie że \(\displaystyle{ x-Tx=y_0}\) i definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \Phi:=y_0+Tx }\) i udowadniamy, że ona ma punkt stały. No dobrze ma, ale w jaki sposób to dowodzi, że \(\displaystyle{ I-Tx}\) jest surjekcją??
Awatar użytkownika
kitsu-ne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 25 sty 2025, o 23:25
Płeć: Mężczyzna
wiek: 35
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 10 razy

Re: Tw von Neumanna dowód nie rozumiem

Post autor: kitsu-ne »

Nie znam się na analizie funkcjonalnej, ale dla dowodu surjektywności musisz raczej znaleźć \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że dla ustalonego wcześniej \(\displaystyle{ y_0}\) zachodzi \(\displaystyle{ x - Tx = y_0}\).

Co do drugiej części, załóżmy, że funkcja \(\displaystyle{ \Phi}\) ma punkt stały \(\displaystyle{ x_0}\). Wtedy \(\displaystyle{ y_0 + Tx_0 = x_0}\), czyli dosłownie \(\displaystyle{ x_0 - Tx_0 = y_0}\), a przecież o wskazanie właśnie takiego iksa nam chodziło.
ODPOWIEDZ