Matematyka.pl

Pokaż że dwie normy są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg zbieżny do zera w jednej z nich jest zbieżny do zera w drugiej.

Rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ || \cdot ||_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ ||\cdot ||_{2}}\) będą dwiema normami w \(\displaystyle{ E}\). Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ || f ||_{1} \le m ||f ||_{2} \le m_{1}|| f ||_{1}}\) dla każdego\(\displaystyle{ f \in E.}\) Wtedy jeśli\(\displaystyle{ f_{n}}\) dąży do zera w jednej z norm, to dąży do zera w drugiej.
Przypuśćmy teraz, że jeden z warunków nie jest spełniony. Np nie istnieje stała \(\displaystyle{ m}\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ f \in E, || f ||_{1} \le m ||f ||_{2}}\). Oznacza to, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\), istnieje wektor \(\displaystyle{ f_{n} \in E}\)taki, że \(\displaystyle{ ||f_{n}||_{1} > n||f_{n}||_{2}}\). Podstawmy
\(\displaystyle{ g_{n}= \frac{f_{n}}{n ||f_{n}||_{2}} .}\)
Wtedy mamy \(\displaystyle{ || g_{n}||_{2}= \frac{1}{n}}\) , oraz \(\displaystyle{ ||g_{n}||_{1} >1}\)
Zatem ciąg \(\displaystyle{ g_{n}}\) jest zbieżny w drugiej normie, a nie jest zbieżny w pierwszej.

I teraz mam pytania odnośnie tego rozwiązania:

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ || f ||_{1} \le m ||f ||_{2} \le m_{1}|| f ||_{1}}\) dla każdego\(\displaystyle{ f \in E.}\) Wtedy jeśli\(\displaystyle{ f_{n}}\) dąży do zera w jednej z norm, to dąży do zera w drugiej.

Skąd ta nierówność i skąd wiadomo, że tak jest z tym zbieganiem do \(\displaystyle{ 0}\) ?

Oznacza to, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\), istnieje wektor \(\displaystyle{ f_{n} \in E}\)taki, że \(\displaystyle{ ||f_{n}||_{1} > n||f_{n}||_{2}}\).

dlaczego taka nierówność i co oznacza to \(\displaystyle{ n}\)?

Wtedy mamy \(\displaystyle{ || g_{n}||_{2}= \frac{1}{n}}\) , oraz \(\displaystyle{ ||g_{n}||_{1} >1}\)

Nie rozumiem skąd to się wzięło.

\(\displaystyle{ Zatem ciąg \(\displaystyle{ g_{n}}\) jest zbieżny w drugiej normie, a nie jest zbieżny w pierwszej.}\)
Czyli co właściwie pokazaliśmy ?

Jak ktoś zna odpowiedzi na te pytania i mógłby mi pomóc to bardzo proszę

1. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \|f_n \|_1 \xrightarrow[n \to \infty]{} 0}\). Wtedy
\(\displaystyle{ 0 \le \|f_n \|_2 \le m_1 \|f_n\|_1 \xrightarrow[n \to \infty]{} 0}\)
i twierdzenie o trzech ciągach. Drugie ograniczenie tak samo, więc implikacja z lewej na prawo jest.

2. Z prawej na lewo lecimy przez kontrapozycję. Zakładamy, że normy \(\displaystyle{ \|\cdot \|_1}\) i \(\displaystyle{ \|\cdot \|_2}\) nie są równoważne, czyli na przykład nie istnieje stała \(\displaystyle{ m}\) taka, że \(\displaystyle{ || f ||_{1} \le m ||f ||_{2}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ f \in E}\). No więc skoro nierówność w jedną stronę nie zachodzi dla wszystkich, to, że dla każdej stałej \(\displaystyle{ n \in \NN}\) istnieje wektor \(\displaystyle{ f_n}\), dla którego zachodzi nierówność w przeciwna:
\(\displaystyle{ ||f_{n}||_{1} > n||f_{n}||_{2}}\)
Teraz tworzymy ciąg \(\displaystyle{ (g_n)_{n \in \NN}\) w następujący sposób:
\(\displaystyle{ g_n := \frac{f_n}{n \|f_n\|_2} \mbox{ dla } n \in \NN}\)
Liczymy obie normy elementu \(\displaystyle{ g_n}\):

\(\displaystyle{ \|g_n\|_2 = \left\|\frac{f_n}{n \|f_n\|_2}\right\|_2 = \frac{1}{n} \frac{\|f_n\|_2}{\|f_n\|_2} = \frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ \|g_n\|_1 = \left\|\frac{f_n}{n \|f_n\|_2}\right\|_1 = \frac{1}{n} \frac{\|f_n\|_1}{\|f_n\|_2} > \frac{1}{n} \frac{n\|f_n\|_2}{\|f_n\|_2} = 1}\)

Więc \(\displaystyle{ \|g_n\|_2 = \frac{1}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0}\) ale \(\displaystyle{ \|g_n\|_1 > 1}\), więc do zera zbiegać nie może.

Jeżeli jeszcze coś niejasne, to pisz śmiało.

Dziękuję !