Równoważność definicji.

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1085
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 270 razy
Pomógł: 34 razy

Równoważność definicji.

Post autor: pawlo392 »

Cześć, mam pewien problem z pokazaniem równoważności definicji. Mowa o ciągach Appella. Możemy podać dwie definicje.
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną, \(\displaystyle{ P_n(x) }\)wielomianem o współczynnikach wymiernych oraz niech \(\displaystyle{ \deg P_n(x)=n}\). Zakładamy ponadto, że \(\displaystyle{ P_0(x) }\)to stała niebędąca zerem. Ciąg \(\displaystyle{ \{P_n(x) \}_{n \ge 0}}\) nazwiemy ciągiem Appella, jeśli \begin{equation} P_n'(x)=nP_{n-1}(x) \ \ \text{dla wszystkich } n \in \mathbb{N}.\end{equation}
Możemy podać drugą definicję.
Ciąg \(\displaystyle{ \{P_n(x) \}_{n \ge 0}}\) nazwiemy ciągiem Appella , jeśli \begin{equation} A(t)e^{xt}=\sum_n^\infty \frac{P_n(x)}{n!}t^n,\end{equation}gdzie \(\displaystyle{ A(t)=\sum_n^\infty \frac{c_n}{n!}t^n,\ (c_0\neq 0)}\) to funkcja generująca.

Dowód 2 definicja --> 1 definicja jest stosunkowo prosty.
Jednakże jak pokazać, że gdy dla pewnej rodziny wielomianów zachodzi \(\displaystyle{ P_n'(x)=nP_{n-1}(x)}\) to zachodzi własnie równość z definicji drugiej?
ODPOWIEDZ