Matematyka.pl

Witam, mam problem z:

Dany jest funkcjonał:

\(\displaystyle{ F(y,z) = \int_{0}^{1} \left( (y')^{2} + 2(z')^{2} \right) \mbox{d}x}\)

Równanie więzów lokalne:

\(\displaystyle{ g=2y-2z-x^{2}-3=0}\)

Szukane funkcje to: \(\displaystyle{ y(x), z(x)}\). Z tego co wiem mam utworzyć taki nowy funkcjonał:

\(\displaystyle{ K(x,y) = \int_{0}^{1} \left( (y')^{2} + 2(z')^{2} + \lambda(x)(2y-2z-x^{2}-3) \right) \mbox{d}x}\)

Liczę następnie dwa równania Eulera-Langrange'a i mam następujący układ równań:

\(\displaystyle{ y''=\lambda(x) \\ z''= \frac{1}{2} \lambda(x)}\)

Nie wiem co ja mam z tym zrobić, by otrzymać funkcje y(x), z(x). Ewentualnie mógłbym zrobić coś takiego:

\(\displaystyle{ y''=2z''}\)

Mógłby ktoś pomóc?

Funkcje y, z miały spełniać równanie więzów i zależeć od x. Już sobie poradziłem. Z tego równania:

\(\displaystyle{ 2y+2z-x^2-3=0}\)

Obliczyłem z tego drugą pochodną po x:

\(\displaystyle{ 2y''+2z''-2=0}\)

Czyli mam układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
y''+z''=1
\\
y'' = \lambda(x)
\\
z'' = 2\lambda(x)
\end{cases}}\)

No i z tego można już wyliczyć, że \(\displaystyle{ \lambda = 1/3}\). Reszta to całkowania i podstawienie warunków brzegowych:)