Witam, mam problem z zadaniem:
"Rozwiąż podstawowy problem geodezyjny, czyli poszukiwanie najkrótszej krzywej łączącej dwa punkty A i B. Pod warunkiem, że krzywa ta leży na sferze".
Robiłem to tak, że utworzyłem funkcjonał z różniczką drogi we współrzędnych sferycznych i jakieś dziwne rzeczy wychodziły... Da się to jakoś w miarę prosto zrobić?
Rachunek wariacyjny: Krzywa łącząca dwa punkty na sferze
-
arek1357
Rachunek wariacyjny: Krzywa łącząca dwa punkty na sferze
Poco to szukasz wiadomo i tak ,że to będzie kawałek okręgu wielkiego ze sfery
-
Hipcio
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 14 sty 2017, o 17:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 1 raz
Rachunek wariacyjny: Krzywa łącząca dwa punkty na sferze
Ja chce to obliczyć z równania Eulera-Langrange'a. Na analogicznej zasadzie są zadania z najkrótszą krzywą łączącą dwa punkty na płaszczyźnie. Tak samo jak w tym wypadku nie trzeba być geniuszem, żeby określić jaka to krzywa.
-
arek1357
Rachunek wariacyjny: Krzywa łącząca dwa punkty na sferze
Powinno iść tak:
\(\displaystyle{ x=r \sin \varphi \cos \phi}\)
\(\displaystyle{ y=r \sin \varphi \sin \phi}\)
\(\displaystyle{ z=r \cos \varphi}\)
współrzędne tensora jedne i drugie:
\(\displaystyle{ g_{i,j}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&r^2&0\\0&0&r^2 \sin^2 \varphi\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g^{i,j}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0& \frac{1}{r^2} &0\\0&0& \frac{1}{r^2 \sin^2 \varphi} \varphi\end{array}\right]}\)
Równanie różniczkowe geodetyk ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{dx^r}{ds^2}+\Gamma ^r_{i,j} \frac{dx^i}{ds} \frac{dx^j}{ds}=0}\)
W sumie to pierwszy wiersz i pierwsza kolumna powinny być zero bo r jest stała przy sferze.
\(\displaystyle{ x=r \sin \varphi \cos \phi}\)
\(\displaystyle{ y=r \sin \varphi \sin \phi}\)
\(\displaystyle{ z=r \cos \varphi}\)
współrzędne tensora jedne i drugie:
\(\displaystyle{ g_{i,j}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&r^2&0\\0&0&r^2 \sin^2 \varphi\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g^{i,j}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0& \frac{1}{r^2} &0\\0&0& \frac{1}{r^2 \sin^2 \varphi} \varphi\end{array}\right]}\)
Równanie różniczkowe geodetyk ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{dx^r}{ds^2}+\Gamma ^r_{i,j} \frac{dx^i}{ds} \frac{dx^j}{ds}=0}\)
W sumie to pierwszy wiersz i pierwsza kolumna powinny być zero bo r jest stała przy sferze.
-
arek1357
Rachunek wariacyjny: Krzywa łącząca dwa punkty na sferze
No to fajnie że bzdury Panie Geniuszu.
Och super masz tu:
\(\displaystyle{ g_{1,1}=r^2}\)
\(\displaystyle{ g_{2,2}=r^2 \sin ^2 \varphi}\)
\(\displaystyle{ g_{1,2}=g_{2,1}=g^{1,2}=g^{2,1}=0}\)
\(\displaystyle{ g^{1,1}= \frac{1}{r^2}}\)
\(\displaystyle{ g^{2,2}= \frac{1}{r^2 \sin ^2 \varphi}}\)
Symbole Christoffela nie będę przepisywał obliczeń:
\(\displaystyle{ \Gamma^1_{1,1}=\Gamma^1_{1,2}=\Gamma^1_{2,1}=\Gamma^2_{1,1}=\Gamma^2_{2,2}=0}\)
\(\displaystyle{ \Gamma^1_{2,2}=- \frac{1}{2} \sin 2 \varphi}\)
\(\displaystyle{ \Gamma^2_{1,2}=\Gamma^2_{2,1}=\ctg \varphi}\)
I teraz z tego , oraz z tego co powyżej masz układ równań różniczkowych (geodetyk) kolego najmądrzejszy na całym forum:
\(\displaystyle{ \frac{d^2x^1}{ds^2}- \frac{1}{2} \sin 2 \varphi \cdot \frac{dx^2}{ds} \frac{dx^2}{ds}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{d^2x^2}{ds^2}+ \ctg \varphi \cdot \frac{dx^1}{ds} \frac{dx^2}{ds}=0}\)
Trzecie równanie to równanie sfery na której leży ta linia geodezyjna.
Och super masz tu:
\(\displaystyle{ g_{1,1}=r^2}\)
\(\displaystyle{ g_{2,2}=r^2 \sin ^2 \varphi}\)
\(\displaystyle{ g_{1,2}=g_{2,1}=g^{1,2}=g^{2,1}=0}\)
\(\displaystyle{ g^{1,1}= \frac{1}{r^2}}\)
\(\displaystyle{ g^{2,2}= \frac{1}{r^2 \sin ^2 \varphi}}\)
Symbole Christoffela nie będę przepisywał obliczeń:
\(\displaystyle{ \Gamma^1_{1,1}=\Gamma^1_{1,2}=\Gamma^1_{2,1}=\Gamma^2_{1,1}=\Gamma^2_{2,2}=0}\)
\(\displaystyle{ \Gamma^1_{2,2}=- \frac{1}{2} \sin 2 \varphi}\)
\(\displaystyle{ \Gamma^2_{1,2}=\Gamma^2_{2,1}=\ctg \varphi}\)
I teraz z tego , oraz z tego co powyżej masz układ równań różniczkowych (geodetyk) kolego najmądrzejszy na całym forum:
\(\displaystyle{ \frac{d^2x^1}{ds^2}- \frac{1}{2} \sin 2 \varphi \cdot \frac{dx^2}{ds} \frac{dx^2}{ds}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{d^2x^2}{ds^2}+ \ctg \varphi \cdot \frac{dx^1}{ds} \frac{dx^2}{ds}=0}\)
Trzecie równanie to równanie sfery na której leży ta linia geodezyjna.