Matematyka.pl

Pokaż, że jeśli operator \(\displaystyle{ B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})}\) komutuje z operatorem hermitowskim \(\displaystyle{ A}\), to komutuje z każdym z operatorów \(\displaystyle{ F(A)}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest ograniczoną funkcją borelowską na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

[edit] Na wszelki wypadek, gdyby nie było to znane, podaję linki z objaśnieniami symbolu \(\displaystyle{ F(A)}\):

Dowód może wyglądać tak:
1) Najpierw pokazujemy dla wielomianów operatorowych.
2) Dla ciągłych funkcji operatorowych - przez przejście graniczne (oczywiście można tak bo interesują nas tylko funkcje ciągłe na widmie \(\displaystyle{ A}\) czyli na zbiorze zwartym a one są granicą jednostajną ciągu wielomianów).
3) Dla borelowskich np przez równość odpowiednich form kwadratowych.

Dzięki za odpowiedź. Mógłbym Cię tylko prosić o troszkę dokładniejsze wyjaśnienie punktu 3) ?

Mniej więcej coś takiego.

Zachodzi równość dla miar zespolonych \(\displaystyle{ \mu_{\psi, B\psi}=\mu_{B^*\psi, \psi},\psi \in H}\). Istotnie
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}fd\mu_{\psi, B\psi}=(\psi,f(A)B\psi)=(\psi,Bf(A)\psi)=(B^*\psi,f(A)\psi)=

\int_{\mathbb{R}}fd\mu_{B^*\psi, \psi},\ f\in C(\mathbb{R}).}\)

Dla dow. \(\displaystyle{ g\in B(\mathbb{R})}\)
\(\displaystyle{ (\psi,g(A)B\psi)=\int_{\mathbb{R}}gd\mu_{\psi, B\psi}=\int_{\mathbb{R}}gd\mu_{B^*\psi, \psi}=(B^*\psi,g(A)\psi)=(\psi,Bg(A)\psi)}\),
czyli
\(\displaystyle{ g(A)B=Bg(A)}\).