Witam mam udowodnić że poniższe odwzorowanie to norma:
\(\displaystyle{ N(x,y)= \int_{0}^{1} \left| x+ty\right| dt}\)
Mógłby ktoś dać kilka wskazówek co tu zrobić? 3 różne zmienne + wartość bezwzględna pod całka to trochę komplikuje
Norma z całką
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Norma z całką
No zapewne w \(\displaystyle{ \RR^2}\), chociaż w \(\displaystyle{ \CC^2}\) też by przeszło.
To naprawdę nie jest trudne, nie bój się paru zmiennych i innych atrakcji.
Wskazówka do warunku
\(\displaystyle{ N(x,y)=0 \Leftrightarrow (x,y)=(0,0)}\):
funkcja ciągła i nieujemna ma całkę zero na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest stale równa zero na tymże przedziale.
Drugi warunek: \(\displaystyle{ N(ax,ay)=|a|N(x,y)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in \RR}\) jest raczej bardzo prosty do wykazania, wystarczy wiedzieć, że
\(\displaystyle{ |u\cdot v|=|u|\cdot |v|}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ u,v \in \RR}\)
oraz że całka oznaczona jest operatorem liniowym(tj. w szczególności dla całkowalnej \(\displaystyle{ f}\) i dowolnej stałej \(\displaystyle{ a}\) mamy
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} a\cdot f(t) \,\dd t=a\cdot \int_{0}^{1} f(t)\,\dd t}\)).
Trzeci warunek można pokazać z monotoniczności całki oznaczonej, no i po drodze zwykła nierówność trójkąta dla wartości bezwzględnej. Rozpisz to sobie, w razie problemów napisz do czego doszedłeś.
Masz pokazać, że dla dowolnych wektorów z \(\displaystyle{ \RR^2}\): \(\displaystyle{ (x_1, y_1)}\) i \(\displaystyle{ (x_2, y_2)}\) zachodzi
\(\displaystyle{ N((x_1, y_1)+(x_2, y_2))\le N(x_1, y_1)+N(x_2, y_2)}\).
Zapisz odpowiednie całki i spróbuj zastosować to, co napisałem wyżej.
To naprawdę nie jest trudne, nie bój się paru zmiennych i innych atrakcji.
Wskazówka do warunku
\(\displaystyle{ N(x,y)=0 \Leftrightarrow (x,y)=(0,0)}\):
funkcja ciągła i nieujemna ma całkę zero na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest stale równa zero na tymże przedziale.
Drugi warunek: \(\displaystyle{ N(ax,ay)=|a|N(x,y)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in \RR}\) jest raczej bardzo prosty do wykazania, wystarczy wiedzieć, że
\(\displaystyle{ |u\cdot v|=|u|\cdot |v|}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ u,v \in \RR}\)
oraz że całka oznaczona jest operatorem liniowym(tj. w szczególności dla całkowalnej \(\displaystyle{ f}\) i dowolnej stałej \(\displaystyle{ a}\) mamy
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} a\cdot f(t) \,\dd t=a\cdot \int_{0}^{1} f(t)\,\dd t}\)).
Trzeci warunek można pokazać z monotoniczności całki oznaczonej, no i po drodze zwykła nierówność trójkąta dla wartości bezwzględnej. Rozpisz to sobie, w razie problemów napisz do czego doszedłeś.
Masz pokazać, że dla dowolnych wektorów z \(\displaystyle{ \RR^2}\): \(\displaystyle{ (x_1, y_1)}\) i \(\displaystyle{ (x_2, y_2)}\) zachodzi
\(\displaystyle{ N((x_1, y_1)+(x_2, y_2))\le N(x_1, y_1)+N(x_2, y_2)}\).
Zapisz odpowiednie całki i spróbuj zastosować to, co napisałem wyżej.
-
- Użytkownik
- Posty: 194
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 64 razy
Re: Norma z całką
Dzięki za błyskawiczną pomoc, nie wiedziałem jak ugryźć ten pierwszy warunek, ale już wszystko kumam
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Norma z całką
Zabawne:
\(\displaystyle{ N(x,y)=\begin{cases}\left|x+\frac{y}{2}\right| & \text{gdy } x(x+y)\geq 0\\
\left|\frac{(2x+y)^2+y^2}{4y}\right|&\text{w przeciwnym przypadku}\end{cases}}\)
ale pokazanie, że jest to norma jest dużo prostsze w postaci całkowej, niż w tej własnie
EDIT: był błąd w rachunkach
\(\displaystyle{ N(x,y)=\begin{cases}\left|x+\frac{y}{2}\right| & \text{gdy } x(x+y)\geq 0\\
\left|\frac{(2x+y)^2+y^2}{4y}\right|&\text{w przeciwnym przypadku}\end{cases}}\)
ale pokazanie, że jest to norma jest dużo prostsze w postaci całkowej, niż w tej własnie
EDIT: był błąd w rachunkach