Matematyka.pl

Proszę o naprowadzenie jak zrobić to zadanie, bo nie za bardzo go rozumiem.
Mam podaną funkcję \(\displaystyle{ \phi :\RR^{2} \rightarrow \RR, \ \phi( \vec{v})=\left| a\right|+\left| b\right|}\), która jest normą na \(\displaystyle{ \RR^{2}}\). Mam wyznaczyć kulę \(\displaystyle{ K(0,1)}\) w tej normie.

Więc wyznacz (narysuj) zbiór punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\) płaszczyzny spełniających warunek \(\displaystyle{ |x|+|y|< 1.}\) Tak zwyczajnie jak w szkole. Bo bez podtekstu metrycznego to zwyczajne szkolne zadanie z funkcji liniowej.

Skąd się ten warunek bierze? Odległością jest norma różnicy. Więc \(\displaystyle{ A\in K(0,1)\iff \phi(A-0)<1.}\) Ale \(\displaystyle{ \phi(A-0)=|x-0|+|y-0|=|x|+|y|}\), jeśli oznaczyć \(\displaystyle{ A=(x,y).}\)

szw1710, jeżeli narysuję zbiór punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\) to otrzymam otwarty romb, który nie jest kulą. To czemu mam w poleceniu aby wyznaczyć kulę?

Z bardzo prostego powodu

Popatrz na definicję koła/kuli jednostkowej w dowolnej przestrzeni. Jest tam powiedziane, że są to takie punkty, których odległość od początku układu współrzędnych w danej przestrzeni jest mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\).

W takim razie jeżeli spełnia to romb to jest on kołem jednostkowym w danej przestrzeni.

Weź sobie jako dodatkowe przykłady metryki: \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) (koło) oraz \(\displaystyle{ |x^3|+ |y^3|}\).

- Tu masz również opisane to trochę z innej strony