Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ e_1, e_2, \ldots}\) będzie bazą ortonormalną przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ \mathcal{H}.}\) Dany jest ciąg wektorów z \(\displaystyle{ \mathcal{H}, \psi_1^{n}, \psi_2^{n}, \ldots}\) taki, że

\(\displaystyle{ \sup_{i} \| \psi_i^{n}-e_i \|\to 0}\) przy \(\displaystyle{ n\to \infty.}\)

Pytanie:

Czy istnieje \(\displaystyle{ N}\) takie, że dla \(\displaystyle{ n>N}\) wektory \(\displaystyle{ \psi_1^{n}, \psi_2^{n}, \ldots}\) są liniowo niezależne ale w mocniejszym sensie tzn. \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} a_i \psi_i^n=0}\) tylko dla \(\displaystyle{ a_i=0, i=1,2,\ldots}\)?