Męczę się z tym już od kilku dni i do niczego mądrego nie doszłam.
Twierdzenie:
a) Dla \( f \in L^2(0, 2\pi) \) i \( R \in (0,1) \) istnieje jednoznacznie określona funkcja \( u \in C(B(0,1)) \) taka, że
\begin{align*}
&u|_{-} \in C^2(B(0,R)) \cap C^1(\overline{B(0,R)}), \\
&u|_{+} \in C^2(B(0,1) \setminus \overline{B(0,R)}) \cap C^1(B(0,1) \setminus B(0,R)),
\end{align*}
\begin{equation}
\begin{cases}
\Delta u = 0 & \text{w } B(0,R) \cup (B(0,1) \setminus \overline{B(0,R)}), \\
u|_{+} = u|_{-}, & \text{na } \partial B(0,R), \\
\left.\frac{\partial u}{\partial \nu}\right|_{+} = 2 \left.\frac{\partial u}{\partial \nu}\right|_{-}, & \text{na } \partial B(0,R).
\end{cases}
\end{equation}
i zachodzi
\begin{align*}
\Vert u(r, \cdot) - f \Vert_{L^2(0,2\pi)} \xrightarrow{r \to 1} 0.
\end{align*}
(b) Jeśli \( f \in C^2(0, 2\pi) \), to wynika \( u \in C(\overline{B(0,1)}) \).
u bierzemy jako rozwiązanie ogólnie Laplace we współrzędnych biegunowych
\begin{equation*}
u(r,\theta) =
\begin{cases}
A_0^- + \sum_{n=1}^{\infty} r^n(A_n^{-} \cos(n\theta) + B_n^{-} \sin(n\theta)), \ r < R \\
A_0^+ + B_0^+ ln(r)+ \sum_{|n|=1}^{\infty} r^n(A_n^{+} \cos(n\theta) + B_n^{+} \sin(n\theta)), \ R < r < 1. \\
\end{cases}
\end{equation*}
Promotor mówił coś o zdefiniowaniu dodatkowej funkcji
\begin{align*}
u_\epsilon = u(R_\epsilon, \theta)
\end{align*}
dla \(\epsilon > 0\), \( R < R' < R_{\epsilon} < 1\) takiej, żeby
\[
\|u_\epsilon\|_{L^2} \leq \epsilon
\]
bo to ma niby w tym dowodzie pomóc, ale wszystko co do tej pory wyliczyłam jest bez sensu.
Nie umiem zastosować tych skoków żeby uzyskać jednoznaczne rozwiązanie i mam wrażenie, że zaczęłam się kręcić w kółko.
Proszę o pomoc i dziękuje z góry
