Matematyka.pl

Mam pytanie:
jeżeli w zadaniu należy sprawdzić w jakich punktach dana funkcja spełnia warunki Cauchy'ego-Riemanna, w których ma pochodną i w których jest holomorficzna, to postępuję tak:

najpierw sprawdzam warunki C-R i obliczam punkty w którym funkcja je spełnia... następnie żeby obliczyć pochodną wstawiam te punkty do wzoru:
\(\displaystyle{ f'( x_{0}, y_{0})=\frac{ \partial u}{ \partial x} ( x_{0}, y_{0} )+\frac{ \partial u}{ \partial y} ( x_{0} ,y_{0} )}\)
dobrze myślę?

I teraz co z holomorficznością? Funkcja jest holomorficzna w punkcie, gdy ma pochodne w otoczeniu tego punktu, ale jak to sprawdzić?

dobrze myślę?

Tak.

I teraz co z holomorficznością? Funkcja jest holomorficzna w punkcie, gdy ma pochodne w otoczeniu tego punktu, ale jak to sprawdzić?

Funkcja jest holomorficzna w punkcie, gdy jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego punktu.
Funkcja jest holomorficzna w zbiorze otwartym, jeśli pochodna istnieje dla każdego punktu z tego zbioru.
Jest twierdzenie, które mówi, że jeśli spełnione są warunki C-R dla każdego punktu ze zbioru otwartego \(\displaystyle{ U}\) oraz funkcje \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) mają ciągłe pochodne cząstkowe wzgl. \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) dla punktów leżących w \(\displaystyle{ U}\) to funkcja jest holomorficzna w \(\displaystyle{ U}\).