Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \parallel \cdot \parallel}\) będzie dowolną normą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), a \(\displaystyle{ e_{1}, e_{2} \ldots e_{n}}\) dowolnymi wektorami w \(\displaystyle{ V}\). Niech \(\displaystyle{ \left\{ a_{1,k}\right\} , \left\{ a_{2,k}\right\}, \ldots \left\{ a_{n,k}\right\}}\) będą ciągami liczbowymi zbieżnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}}\). Niech \(\displaystyle{ f_{k} = \sum_{i=1}^{n} a_{ik}e_{i}, \ \text{dla} \ k=1,2, \ldots \ \text{oraz} \ f= \sum_{i=1}^{n} b_{i}e_{i}.}\)
Pokazać, że: \(\displaystyle{ \lim_{ k \to \infty } \parallel f_{k} - f \parallel = 0}\).