Matematyka.pl

Mam definicje funkcjonału Minkowskego

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie wypukłym, pochłaniającym podzbiorem przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\). Wówczas poprawnie określony funkcjonał \(\displaystyle{ p(x)=\inf \left\{ \lambda>0: x \in \lambda A \right\}}\) \(\displaystyle{ x \in X}\) nazywamy funkcjonałem Minkowskiego.

I mam problem z udowodnieniem własności funkcjonału
\(\displaystyle{ 1) p \ge 0}\)

skąd wynika że \(\displaystyle{ p(0)=0}\)
skoro definicja mówi że \(\displaystyle{ p(x)}\) jest najmniejszą \(\displaystyle{ \lambda>0}\) czyli jak może być \(\displaystyle{ 0}\)

Infimum zbioru złożonego z liczb dodatnich jest zawsze nieujemne. Ponadto może wynosić zero, jak np. dla ciągu o wyrazie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Nie zawsze kres dolny to najmniejszy element w zbiorze.

Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest pochłaniający, to \(\displaystyle{ 0\in A}\), a także \(\displaystyle{ 0\in\lambda A}\) dla każdego \(\displaystyle{ \lambda>0}\). Tak więc infimum takich lambd to zero, dlatego \(\displaystyle{ p(0)=0}\).

ale jaką widaomo że \(\displaystyle{ 0 \in A}\) ? jak to wynika z tego że \(\displaystyle{ A}\) pochłaniający ?

Zapisz definicję zbioru pochłaniającego i zastosuj ją do \(\displaystyle{ x=0}\). Skoro \(\displaystyle{ 0\in tA}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t>0}\), to \(\displaystyle{ 0=\frac{1}{t}0\in\frac{1}{t}\cdot tA=A}\).

A to należenie wynika z tego że jak mam
\(\displaystyle{ 0 \in t A}\)
i teraz tak jakby mnożę przez \(\displaystyle{ \frac{1}{t}}\)

No dobra mam, że \(\displaystyle{ 0 \in A}\)
ale jak z tego wynika, że \(\displaystyle{ p(0)=0}\)

Skoro \(\displaystyle{ 0 \in A}\), to \(\displaystyle{ 0 \in \lambda A}\) dla każdego \(\displaystyle{ \lambda>0}\), więc \(\displaystyle{ p(0) = \inf \{ \lambda >0 \colon 0 \in \lambda A\}}\) musi być równe zeru z dowolności \(\displaystyle{ \lambda}\), bo ten zbiór to po prostu przedział \(\displaystyle{ (0,\infty)}\).

No włansie jest to przedział \(\displaystyle{ \left( 0, \infty \right)}\) czyli \(\displaystyle{ 0}\) nei należy do tego przedziału to jak \(\displaystyle{ p\left( 0\right) =0}\) ?

A ile wynosi \(\displaystyle{ \inf (0, \infty)}\)?

a no tak dzięki