Matematyka.pl

1. Wyznaczyc funkcjonał Minkowskiego dla zbioru
\(\displaystyle{ C= \left\{ \left( x_{1},x_{2} \right) \in \RR^{2}\colon \: ax_{1}-b \le x_{2} \le x_{1} \le ax_{1}+b \right\}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a, b \in \RR}\) i \(\displaystyle{ b > 0.}\) Czy wyznaczony funkcjonał jest norma (lub pseudonorma)? Jesli tak, to jak wyglada kula jednostkowa.

Udało mi się wyznaczyć funkcjonał \(\displaystyle{ p \left( x \right) =\frac{1}{b}|x_{2}-ax_{1}|}\)
No i teraz musze sprawdzic te 3 warunki na norme, tylko mam pytanie jak u mnie wygląda ta norma.
Czy to jest \(\displaystyle{ || \left( x_{1},x_{2} \right) ||= \frac{1}{b}|x_{2}-ax_{1}|}\) ? (jeśli, tak to już to sprawdziłem i jest normą)
Teraz jeszcze jedno czy kula jednostkowa będzie spełniała nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{b}|x_{2}-ax_{1}| \le 1}\) ?

2. Niech \(\displaystyle{ \left( X, ||\cdot||_{X} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( Y, ||\cdot||_{Y} \right)}\) beda przestrzeniami Banacha. Wykazac, ze przestrzen\(\displaystyle{ X\times Y}\) z norma \(\displaystyle{ || \left( x,y \right) ||_{X\times Y}\colon = ||x||_{X}+||y||_{Y}}\) jest również przestrzenia Banacha. Rozważyć inne sposoby definiowania normy.

Skoro \(\displaystyle{ \left( X, ||\cdot||_{X} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( Y, ||\cdot||_{Y} \right)}\) są przestrzeniami Banacha to są przestrzeniami unormowanymi zupełnymi(każdy ciąg Cauchy'ego jest zbieżny do pewnego elementu tej przestrzeni). Ale nie wiem za bardzo jak się za to zabrać i zacząć.

Pokaż, że jeżeli \(\displaystyle{ (x_n,y_n)}\) jest ciągiem Cauchy'ego, to takimi sa \(\displaystyle{ x_n}\) oraz \(\displaystyle{ y_n}\). Zgadnij co będzie granicą ciagu \(\displaystyle{ (x_n,y_n)}\).

Poprosiłbym o sprawdzenie poprawności dowodu i pomoc z jeszcze jednym zadaniem.

Dowód:
Niech \(\displaystyle{ (x_{n},y_{n})}\) będzie ciagiem Cauchy'ego. Wtedy
\(\displaystyle{ \forall_{\epsilon>0}\exists_{\n_{0}}\forall_{m,n>n_{0}} ||(x_{n},y_{n}) - (x_{m},y_{m})|| <\epsilon}\)
Z definicji normy produktowej \(\displaystyle{ X\times Y}\) mamy \(\displaystyle{ || ((x_{n},x_{m})|| + || (y_{n},y_{m})|| < \epsilon \Rightarrow || (x_{n},x_{m})|| < \epsilon \wedge ||((y_{n},y_{m})|| < \epsilon}\).
Co kończy dowód.
Prosze o pomoc jeszcze z tym zadaniem.

Wykazać, ze na to ,by dwie normy \(\displaystyle{ ||\cdot||_{1}}\) i \(\displaystyle{ ||\cdot||_{2}}\) w przestrzeni liniowej X były równoważne potrzeba i wystarcza, by istniały liczy \(\displaystyle{ \gamma_{1}}\), \(\displaystyle{ \gamma_{2} > 0}\) takie, że
\(\displaystyle{ \gamma_{1}||x||_{1} \le ||x||_{2} \le \gamma_{2}||x||_{1}}\)

To nie kończy dowodu. Masz pokazać, że ciąg Cauchy'ego \(\displaystyle{ (x_n,y_n)}\) ma granice w \(\displaystyle{ X\times Y}\)