Matematyka.pl

Rozważmy algebrę \(\displaystyle{ A = C_0([0,\infty))}\) złożoną z tych zespolonych funkcji ciągłych na \(\displaystyle{ [0,\infty)}\), które zbiegają do 0 w nieskończoności. Z wynika, że dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f\in A}\) istnieją takie dwie funkcje \(\displaystyle{ g,h\in A}\), że \(\displaystyle{ f=gh}\).

• Czy da się to pokazać bardziej elementarnie, tj. bez używania wspomnianego wyżej twierdzenia?

Chyba rozkład \(\displaystyle{ f = \frac{f}{\sqrt{|f|}} \cdot \sqrt{|f|}}\) działa.

A co z zerami funkcji \(\displaystyle{ f}\)?

\(\displaystyle{ \frac{f(x)}{ \sqrt{\left| f(x)\right|} } \to 0}\), jeśli \(\displaystyle{ f(x) \to 0}\) , więc można wziąć:

\(\displaystyle{ f=g \sqrt{\left| f\right|}}\) , gdzie \(\displaystyle{ g(x)= \begin{cases} \frac{f(x)}{ \sqrt{\left| f(x)\right|} } & \mbox{dla } f(x) \neq 0 \\ 0 & \mbox{w p. p.} \end{cases}}\)

Co ciekawe, bardzo podobny argument (trochę bardziej techniczny) pokazuje, że twierdzenie Cohena jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ C^{\ast}}\)-algebr.

Istotnie, przyjmijmy, że \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ C^{\ast}}\)-algebrą oraz niech \(\displaystyle{ x\in A}\). Wówczas możemy patrzeć na \(\displaystyle{ x}\) jako na element algebry \(\displaystyle{ A^{\ast\ast}}\), która jest algebrą von Neumanna. W \(\displaystyle{ A^{\ast\ast}}\) możemy zatem zrobić rozkład biegunowy \(\displaystyle{ x = u|x| = u|x|^{\frac{1}{2}} |x|^{\frac{1}{2}}}\). Wystarczy teraz sprawdzić, że \(\displaystyle{ u|x|^{\frac{1}{2}} \in A}\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) mamy równość \(\displaystyle{ x(\varepsilon + |x|^{\frac{1}{2}})^{-1} = u|x|(\varepsilon + |x|^{\frac{1}{2}})^{-1}}\). Lewa strona należy do \(\displaystyle{ A}\), zatem prawa również. Z własności rachunku funkcyjnego wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} |x|(\varepsilon + |x|^{\frac{1}{2}})^{-1} = |x|^{\frac{1}{2}}}\) w normie \(\displaystyle{ A}\). Wobec tego \(\displaystyle{ u|x|^{\frac{1}{2}}}\) jest normową granicą elementów z \(\displaystyle{ A}\), czyli należy do \(\displaystyle{ A}\).