Dzień dobry
Czy mógłbym poprosić o jakąś wskazówkę odnośnie dowodu różniczkowalności takiego oto odwzorowania:
\(\displaystyle{ C([0,1]) \ni f \mapsto \int_{0}^{1}f^{n}(t)dt \in \mathbb{R} }\).
Dowód różniczkowalności
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 3 wrz 2019, o 12:30
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Dowód różniczkowalności
Ja bym korzystał z dwumianu Newtona. Ustalamy funkcję \(\displaystyle{ f\in C([0,1])}\), czyli "punkt" w którym będziemy badać różniczkowalność. Musimy znaleźć funkcję liniową i ciągłą \(\displaystyle{ \Lambda}\) taką, żeby wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{\int (f+h)^n -\int f^n -\Lambda h}{\|h\|}}\)
zbiegało do zera przy \(\displaystyle{ h\to 0}\). Jak rozpiszemy \(\displaystyle{ (f+h)^n}\) z dwumianu Newtona, to kandydat na \(\displaystyle{ \Lambda}\) się sam wyłania. Dopracuj szczegóły.
\(\displaystyle{ \frac{\int (f+h)^n -\int f^n -\Lambda h}{\|h\|}}\)
zbiegało do zera przy \(\displaystyle{ h\to 0}\). Jak rozpiszemy \(\displaystyle{ (f+h)^n}\) z dwumianu Newtona, to kandydat na \(\displaystyle{ \Lambda}\) się sam wyłania. Dopracuj szczegóły.