Witam.
Bardzo prosiłabym o pomoc w tym zadaniu.
Oblicz całkę krzywoliniową \(\displaystyle{ \int_{K} \left[ yz+x^2 \ln(x^2+5x+1)\right]dx+(x^2yz) dy +(2y)dz }\), gdzie\(\displaystyle{ K}\) jest trójkątem o wierzchołkach: \(\displaystyle{ A=(1,1,0)}\), \(\displaystyle{ B=(1,-1,0)}\), \(\displaystyle{ C=(0,0,1)}\).
Najbardziej zależy mi na tym, jak należy zapisać ten trójkąt w postaci całki podwójnej.
Z góry dziękuję za pomoc.
Twierdzenie Stokesa
Re: Twierdzenie Stokesa
Wiem że boki można sparametyzować na przykład w ten sposób:
\(\displaystyle{ AB}\)
\(\displaystyle{ \phi_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \phi_{2}=-2t+1}\)
\(\displaystyle{ \phi_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ t \in \left[ 0,1\right] }\)
\(\displaystyle{ BC}\)
\(\displaystyle{ \phi_{1}=-t+1}\)
\(\displaystyle{ \phi_{2}=t-1}\)
\(\displaystyle{ \phi_{3}=t}\)
\(\displaystyle{ t \in \left[ 0,1\right] }\)
\(\displaystyle{ CA}\)
\(\displaystyle{ \phi_{1}=t}\)
\(\displaystyle{ \phi_{2}=t}\)
\(\displaystyle{ \phi_{3}=-t+1}\)
\(\displaystyle{ t \in \left[ 0,1\right] }\)
Niestety nie umiem zauważyć w tym logarytmie nic, co mogłoby mi ułatwić sytuację.
Co gorsza otrzymałam takie zadanie, żeby poćwiczyć wykorzystywanie twierdzenia Stokesa i jak zaczęłam, to wyliczać i wyglądało to lepiej, bo logarytm zniknął, ale powstał problem z wyliczeniem przedziałów całki podwójnej oraz wektora normalnego.
\(\displaystyle{ AB}\)
\(\displaystyle{ \phi_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \phi_{2}=-2t+1}\)
\(\displaystyle{ \phi_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ t \in \left[ 0,1\right] }\)
\(\displaystyle{ BC}\)
\(\displaystyle{ \phi_{1}=-t+1}\)
\(\displaystyle{ \phi_{2}=t-1}\)
\(\displaystyle{ \phi_{3}=t}\)
\(\displaystyle{ t \in \left[ 0,1\right] }\)
\(\displaystyle{ CA}\)
\(\displaystyle{ \phi_{1}=t}\)
\(\displaystyle{ \phi_{2}=t}\)
\(\displaystyle{ \phi_{3}=-t+1}\)
\(\displaystyle{ t \in \left[ 0,1\right] }\)
Niestety nie umiem zauważyć w tym logarytmie nic, co mogłoby mi ułatwić sytuację.
Co gorsza otrzymałam takie zadanie, żeby poćwiczyć wykorzystywanie twierdzenia Stokesa i jak zaczęłam, to wyliczać i wyglądało to lepiej, bo logarytm zniknął, ale powstał problem z wyliczeniem przedziałów całki podwójnej oraz wektora normalnego.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Twierdzenie Stokesa
Jeżeli mamy obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną stosując twierdzenie Stokesa, to musimy zamienić na całkę powierzchniową zorientowaną.
Obliczamy cyrkulację (rotację) pola wektorowego (funkcji podcałkowej):
\(\displaystyle{ \oint_{(K)} [ yz +x^2\ln(x^2+5x +1)]dx + x^2\cdot y\cdot z\cdot dy +2y\cdot dz = \int_{(\Sigma)} (2 -x^2\cdot y)dydz + (y-0)dz dx + (2x\cdot y \cdot z-2)dxdy }\)
Jeśli układzie współrzędnych prostokątnych \(\displaystyle{ Oxyz }\) wykonamy rysunek trójkąta o wierzchołkach
\(\displaystyle{ A= (1,1,0), B = (1,-1,0), C = (0,0,1), }\)
to otrzymamy czworościan i obszar całkowania \(\displaystyle{ \Sigma }\) składa się z jego czterech trójkątnych ścian:
\(\displaystyle{ \Sigma = \Sigma_{1} + \Sigma_{2}+\Sigma_{3}+ \Sigma_{4} }\)
\(\displaystyle{ \Sigma_{1}: \ \ z = f_{1}(x,y) \equiv 0, \ \ gdzie \ \ -1\leq x \leq 0, \ \ -x\leq y \leq 1 \ \ i \ \ 0\leq x \leq 1, \ \ x\leq y \leq 1. }\)
\(\displaystyle{ \Sigma_{2}: \ \ y = f_{2}(x,z) \equiv 0 ,\ \ gdzie \ \ 0\leq x \leq 1, \ \ 0\leq z \leq 1-x. }\)
\(\displaystyle{ \Sigma_{3}: \ \ x = f_{3}(y,z) \equiv 0, \ \ gdzie \ \ 0\leq y \leq 1, \ \ 0\leq z \leq 1-y. }\)
\(\displaystyle{ \Sigma_{4}: \ \ z = f_{4}(x,y) = 1-x-y, \ \ gdzie \ \ -1\leq x \leq 0, \ \ -x\leq y \leq 1 \ \ \vee \ \ 0\leq x \leq 1, \ \ x\leq y \leq 1. }\)
Wersory normalne skierowane na zewnątrz do tych ścian mają odpowiednio współrzędne:
\(\displaystyle{ \vec{n}_{1} = [ 0, 0, -1], \ \ \vec{n}_{2} = [0,-1, 0], \ \ \vec{n}_{3} = [-1,0, 0], \ \ \vec{n}_{4} = \frac{1}{\sqrt{3}}[1, 1, 1]. }\)
Korzystając z addytywności całki powierzchniowej względem obszaru całkowania oraz ze wzoru na zamianę całki powierzchniowej zorientowanej na
całkę powierzchniową niezorientowaną otrzymamy
\(\displaystyle{ \oint_{(K)} [ yz +x^2\ln(x^2+5x +1)]dx + x^2\cdot y\cdot z\cdot dy +2y\cdot dz = \iint_{\Sigma_{1}} (2 -x^2\cdot y)dydz + (y-0)dz dx + (2x\cdot y \cdot z-2)dxdy + }\)
\(\displaystyle{ + \iint_{\Sigma_{2}} (2 -x^2\cdot y)dydz + (y-0)dz dx + (2x\cdot y \cdot z-z)dxdy + \iint_{\Sigma_{3}} (2 -x^2\cdot y)dydz + (y-0)dz dx +
(2x\cdot y \cdot z-2)dxdy + }\)
\(\displaystyle{ + \iint_{\Sigma_{4}} (2 -x^2\cdot y)dydz + (y-0)dz dx + (2x\cdot y \cdot z-2)dxdy = \iint_{\Sigma_{1}} -(2x\cdot y \cdot z-2)dS + \int_{\Sigma_{2}}-y dS + \iint_{\Sigma_{3}} -(-2- x^2) dS +}\)
\(\displaystyle{ + \frac{1}{\sqrt{3}} \iint_{\Sigma_{4}} 2 -x^2\cdot y +y +2x\cdot y\cdot z -2)dS = 0 + 0 + 0 + \frac{1}{\sqrt{3}}\iint (-x^2\cdot y +y +2xy(1-x-y)) dS = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{\sqrt{3}}\int_{-1}^{0}\int_{-x}^{1} (-x^2\cdot y +y +2xy(1-x-y))\cdot \sqrt{1+1+1} dydx + \frac{1}{\sqrt{3}}\int_{0}^{1}\int_{x}^{1} (-x^2\cdot y +y +2xy(1-x-y))\cdot \sqrt{1+1+1} dydx = \ \ ... \ \ }\)
Obliczamy cyrkulację (rotację) pola wektorowego (funkcji podcałkowej):
\(\displaystyle{ \oint_{(K)} [ yz +x^2\ln(x^2+5x +1)]dx + x^2\cdot y\cdot z\cdot dy +2y\cdot dz = \int_{(\Sigma)} (2 -x^2\cdot y)dydz + (y-0)dz dx + (2x\cdot y \cdot z-2)dxdy }\)
Jeśli układzie współrzędnych prostokątnych \(\displaystyle{ Oxyz }\) wykonamy rysunek trójkąta o wierzchołkach
\(\displaystyle{ A= (1,1,0), B = (1,-1,0), C = (0,0,1), }\)
to otrzymamy czworościan i obszar całkowania \(\displaystyle{ \Sigma }\) składa się z jego czterech trójkątnych ścian:
\(\displaystyle{ \Sigma = \Sigma_{1} + \Sigma_{2}+\Sigma_{3}+ \Sigma_{4} }\)
\(\displaystyle{ \Sigma_{1}: \ \ z = f_{1}(x,y) \equiv 0, \ \ gdzie \ \ -1\leq x \leq 0, \ \ -x\leq y \leq 1 \ \ i \ \ 0\leq x \leq 1, \ \ x\leq y \leq 1. }\)
\(\displaystyle{ \Sigma_{2}: \ \ y = f_{2}(x,z) \equiv 0 ,\ \ gdzie \ \ 0\leq x \leq 1, \ \ 0\leq z \leq 1-x. }\)
\(\displaystyle{ \Sigma_{3}: \ \ x = f_{3}(y,z) \equiv 0, \ \ gdzie \ \ 0\leq y \leq 1, \ \ 0\leq z \leq 1-y. }\)
\(\displaystyle{ \Sigma_{4}: \ \ z = f_{4}(x,y) = 1-x-y, \ \ gdzie \ \ -1\leq x \leq 0, \ \ -x\leq y \leq 1 \ \ \vee \ \ 0\leq x \leq 1, \ \ x\leq y \leq 1. }\)
Wersory normalne skierowane na zewnątrz do tych ścian mają odpowiednio współrzędne:
\(\displaystyle{ \vec{n}_{1} = [ 0, 0, -1], \ \ \vec{n}_{2} = [0,-1, 0], \ \ \vec{n}_{3} = [-1,0, 0], \ \ \vec{n}_{4} = \frac{1}{\sqrt{3}}[1, 1, 1]. }\)
Korzystając z addytywności całki powierzchniowej względem obszaru całkowania oraz ze wzoru na zamianę całki powierzchniowej zorientowanej na
całkę powierzchniową niezorientowaną otrzymamy
\(\displaystyle{ \oint_{(K)} [ yz +x^2\ln(x^2+5x +1)]dx + x^2\cdot y\cdot z\cdot dy +2y\cdot dz = \iint_{\Sigma_{1}} (2 -x^2\cdot y)dydz + (y-0)dz dx + (2x\cdot y \cdot z-2)dxdy + }\)
\(\displaystyle{ + \iint_{\Sigma_{2}} (2 -x^2\cdot y)dydz + (y-0)dz dx + (2x\cdot y \cdot z-z)dxdy + \iint_{\Sigma_{3}} (2 -x^2\cdot y)dydz + (y-0)dz dx +
(2x\cdot y \cdot z-2)dxdy + }\)
\(\displaystyle{ + \iint_{\Sigma_{4}} (2 -x^2\cdot y)dydz + (y-0)dz dx + (2x\cdot y \cdot z-2)dxdy = \iint_{\Sigma_{1}} -(2x\cdot y \cdot z-2)dS + \int_{\Sigma_{2}}-y dS + \iint_{\Sigma_{3}} -(-2- x^2) dS +}\)
\(\displaystyle{ + \frac{1}{\sqrt{3}} \iint_{\Sigma_{4}} 2 -x^2\cdot y +y +2x\cdot y\cdot z -2)dS = 0 + 0 + 0 + \frac{1}{\sqrt{3}}\iint (-x^2\cdot y +y +2xy(1-x-y)) dS = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{\sqrt{3}}\int_{-1}^{0}\int_{-x}^{1} (-x^2\cdot y +y +2xy(1-x-y))\cdot \sqrt{1+1+1} dydx + \frac{1}{\sqrt{3}}\int_{0}^{1}\int_{x}^{1} (-x^2\cdot y +y +2xy(1-x-y))\cdot \sqrt{1+1+1} dydx = \ \ ... \ \ }\)