Matematyka.pl

Stosując twierdzenie Greena obliczyć \(\displaystyle{ \int_{L}}\) (x+y)dx + (y-x)dy gdzie L jest okręgiem o środku w punkcie (1,0) i promieniu 2

Z twierdzenia Greena \(\displaystyle{ \iint\limits_D(\frac{dQ}{dy}-\frac{dP}{dx})dxdy}\)

\(\displaystyle{ P=x+y}\)
\(\displaystyle{ Q=y-x}\) i stąd widać, że \(\displaystyle{ \frac{dQ}{dy}=1, \frac{dP}{dx}=1}\)
zatem całka z zadania jest równa \(\displaystyle{ 0}\)

ale twierdzenie Greena brzmi \(\displaystyle{ \iint_{D}}\)\(\displaystyle{ \frac{dQ}{dx}}\)-\(\displaystyle{ \frac{dP}{dy}}\) i wychodzi 2

sorry zatem będzie \(\displaystyle{ \iint\limits_D-2dxdy=-2\pi r^2=-8\pi}\)

a skąd się wzięło to- 2\(\displaystyle{ \pi}\)\(\displaystyle{ r^{2}}\)

bo jest taki wzór \(\displaystyle{ P=\iint\limits_Ddxdy}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) to pole obszaru \(\displaystyle{ D}\) u nas jest to okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 2}\)

ale jakie są granice całkowania

[ Dodano: 15 Czerwca 2007, 16:01 ]
korzystasz z współrzędnych biegunowych czy nie

możesz korzystac z współrzędnych biegunowych i nawet bedzie sie szybciej i prościej liczyło

Można liczyć \(\displaystyle{ \iint_D dxdy}\), ale po co? Wiemy, że obszar D jest kołem, a odpowiednie twierdzenie zapewnia, iż jeżeli w całce podwójnej funkcja podcałkowajest tożsamościowo równa 1, to wartość całki równa jest polu powierzchni figury, po której całkujemy.

Mateuszk, raz już Ci zwróciłem uwagę, iż należy całość wyrażenia matematycznego ujmować w znaczniki TeXa...