Dlaczego nie można w tym przypadku nie można zastosować twierdzenia Greena?
calka po okregu \(\displaystyle{ \Gamma}\): \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=1}\)
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma}y^2dx-x^2dy}\)
\(\displaystyle{ r \in[ 0 ,1]\\
\phi \in[0, 2\pi]}\)
i wychodzi w calce \(\displaystyle{ \cos \phi + \sin \phi}\) od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2\pi}\) co jest \(\displaystyle{ 0.}\)
Dlaczgo to sie psuje?
Tw. Greena
-
janstudent
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 11 sty 2024, o 17:52
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Tw. Greena
Ostatnio zmieniony 11 sty 2024, o 19:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
janstudent
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 11 sty 2024, o 17:52
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Tw. Greena
Wychodzi \(\displaystyle{ 0}\), powinno \(\displaystyle{ -4\pi.}\) Jak zrobimy to przez parametr to właśnie wychodzi \(\displaystyle{ -4\pi.}\)
Ostatnio zmieniony 11 sty 2024, o 19:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
janstudent
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 11 sty 2024, o 17:52
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
-
janstudent
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 11 sty 2024, o 17:52
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Tw. Greena
standardowo z biegunowych.
\(\displaystyle{ x=r \cos \phi}\) i \(\displaystyle{ y=r \sin \phi}\) i jacobian \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ x=r \cos \phi}\) i \(\displaystyle{ y=r \sin \phi}\) i jacobian \(\displaystyle{ r}\)
Ostatnio zmieniony 12 sty 2024, o 13:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
janstudent
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 11 sty 2024, o 17:52
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Tw. Greena
To znaczy, że środkiem tego okręgu nie jest punkt \(\displaystyle{ (0,0),}\) więc z parametryzacją trzeba ostrożnie. Zadziałałeś automatycznie i sparametryzowałeś koło \(\displaystyle{ x^2+y^2\le1,}\) a nie ten, który miałeś w zadaniu.
JK
edit: okrąg -> koło
JK
edit: okrąg -> koło
-
janstudent
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 11 sty 2024, o 17:52
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Tw. Greena
Nie jest to okrag jednostkowy, ale jakie to ma znaczenie. Obszar jest domkniety. zorientowany dodatnio. I pole wetkorowe jest rozniczkowalne. Wiec spełnia wszystkie warunki.
Dodano po 56 sekundach:
Dodano po 56 sekundach:
Ale ja nie parametryzuje okregu?Jan Kraszewski pisze: ↑12 sty 2024, o 15:51 To znaczy, że środkiem tego okręgu nie jest punkt \(\displaystyle{ (0,0),}\) więc z parametryzacją trzeba ostrożnie. Zadziałałeś automatycznie i sparametryzowałeś koło \(\displaystyle{ x^2+y^2\le1,}\) a nie ten, który miałeś w zadaniu.
JK
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Tw. Greena
To jest parametryzacja koła o równaniu \(\displaystyle{ x^2 + y^2 \le 1}\), a powinieneś parametryzować koło \(\displaystyle{ (x-1)^2 + (y-1)^2 \le 1}\). Prawidłową parametryzacją jest \(\displaystyle{ x = 1 + r \cos \phi, \ y = 1 + r \sin \phi}\) dla \(\displaystyle{ r \in [0, 1]}\), \(\displaystyle{ \phi \in [0, 2 \pi]}\). Jeśli powtórzysz rachunki z taką parametryzacją, to dostaniesz poprawny wynik, tj. \(\displaystyle{ -4 \pi}\).janstudent pisze: ↑12 sty 2024, o 12:21\(\displaystyle{ x=r \cos \phi}\) i \(\displaystyle{ y=r \sin \phi}\) i jacobian \(\displaystyle{ r}\)
-
janstudent
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 11 sty 2024, o 17:52
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Tw. Greena
Ale pytanie jest inne. Dlaczego nie moge użyc twierdzenia greena. Określam obszar D w taki sposob jak wyzej i tw greena.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Tw. Greena
Możesz użyć twierdzenia Greena i w Twoich rachunkach uczyniłeś to poprawnie, a wynik jest nie taki jak powinien z powodu późniejszego błędu w parametryzacji. Tzn. to przejście:
\(\displaystyle{ \int \limits_{\Gamma} y^2 \, \dd x - x^2 \, \dd y = \iint \limits_D (-2x-2y) \, \dd x \dd y}\)
jest poprawne (przy czym \(\displaystyle{ D}\) jest kołem danym nierównością \(\displaystyle{ (x-1)^2 + (y-1)^2 \le 1}\) ).
\(\displaystyle{ \int \limits_{\Gamma} y^2 \, \dd x - x^2 \, \dd y = \iint \limits_D (-2x-2y) \, \dd x \dd y}\)
jest poprawne (przy czym \(\displaystyle{ D}\) jest kołem danym nierównością \(\displaystyle{ (x-1)^2 + (y-1)^2 \le 1}\) ).
