Środek ciężkości
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Środek ciężkości
Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości obszaru ograniczonego krzywymi \(\displaystyle{ x^2+y^2=4x}\) i \(\displaystyle{ x^2+y^2=2x}\), jeśli gęstość w każdym punkcie jest równa jego odległości od osi \(\displaystyle{ OX}\).
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Środek ciężkości
Obszar ograniczony okręgami:
\(\displaystyle{ o_{1}: \ \ (x-2)^2 +y^2 = 2^2, }\)
\(\displaystyle{ o_{2}: \ \ (x-1)^2 +y^2 = 1^2. }\)
Pole obszaru:
\(\displaystyle{ |P| = \pi R^2 - \pi r^2 }\)
\(\displaystyle{ |P| = \pi\cdot 2^2 - \pi \cdot 1^2 = 4\pi - \pi = 3\pi.}\)
Gęstość powierzchniowa obszaru
\(\displaystyle{ \sigma(x,y) = y.}\)
Momenty statyczne:
\(\displaystyle{ M_{x} = 0 }\) - obszar symetryczny względem osi \(\displaystyle{ 0x.}\)
Współrzędna \(\displaystyle{ x }\) środka ciężkości \(\displaystyle{ \xi = 0 = \frac{M_{x}}{|P|}.}\)
\(\displaystyle{ M_{y} = 2\int_{0}^{2}\int_{\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{4- (x-2)^2}} x y dydx + 2\int_{2}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 - (x-2)^2}}x y dydx = \ \ ...}\)
Współrzędna \(\displaystyle{ y }\) środka ciężkości:
\(\displaystyle{ \eta = \frac{M_{y}}{|P|}= \ \ ... }\)
Dodano po 23 minutach 26 sekundach:
Można obliczyć te całki we współrzędnych biegunowych.
Dodano po 2 godzinach 6 minutach 30 sekundach:
Obszar ograniczony okręgami:
\(\displaystyle{ o_{1}: \ \ (x-2)^2 +y^2 = 2^2, }\)
\(\displaystyle{ o_{2}: \ \ (x-1)^2 +y^2 = 1^2. }\)
Pole obszaru:
\(\displaystyle{ |P| = \pi R^2 - \pi r^2 }\)
\(\displaystyle{ |P| = \pi\cdot 2^2 - \pi \cdot 1^2 = 4\pi - \pi = 3\pi.}\)
Gęstość powierzchniowa obszaru
\(\displaystyle{ \sigma(x,y) = y.}\)
Momenty statyczne:
\(\displaystyle{ M_{x} = 0 }\) - obszar symetryczny względem osi \(\displaystyle{ 0x.}\)
Współrzędna \(\displaystyle{ x }\) środka ciężkości \(\displaystyle{ \eta = 0 = \frac{M_{x}}{|P|}.}\)
\(\displaystyle{ M_{y} = 2\int_{0}^{2}\int_{\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{4- (x-2)^2}} x y dydx + 2\int_{2}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 - (x-2)^2}}x y dydx = \ \ ...}\)
Współrzędna \(\displaystyle{ y }\) środka ciężkości:
\(\displaystyle{ \xi = \frac{M_{y}}{|P|}= \ \ ... }\)
Można obliczyć te całki we współrzędnych biegunowych.
\(\displaystyle{ o_{1}: \ \ (x-2)^2 +y^2 = 2^2, }\)
\(\displaystyle{ o_{2}: \ \ (x-1)^2 +y^2 = 1^2. }\)
Pole obszaru:
\(\displaystyle{ |P| = \pi R^2 - \pi r^2 }\)
\(\displaystyle{ |P| = \pi\cdot 2^2 - \pi \cdot 1^2 = 4\pi - \pi = 3\pi.}\)
Gęstość powierzchniowa obszaru
\(\displaystyle{ \sigma(x,y) = y.}\)
Momenty statyczne:
\(\displaystyle{ M_{x} = 0 }\) - obszar symetryczny względem osi \(\displaystyle{ 0x.}\)
Współrzędna \(\displaystyle{ x }\) środka ciężkości \(\displaystyle{ \xi = 0 = \frac{M_{x}}{|P|}.}\)
\(\displaystyle{ M_{y} = 2\int_{0}^{2}\int_{\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{4- (x-2)^2}} x y dydx + 2\int_{2}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 - (x-2)^2}}x y dydx = \ \ ...}\)
Współrzędna \(\displaystyle{ y }\) środka ciężkości:
\(\displaystyle{ \eta = \frac{M_{y}}{|P|}= \ \ ... }\)
Dodano po 23 minutach 26 sekundach:
Można obliczyć te całki we współrzędnych biegunowych.
Dodano po 2 godzinach 6 minutach 30 sekundach:
Obszar ograniczony okręgami:
\(\displaystyle{ o_{1}: \ \ (x-2)^2 +y^2 = 2^2, }\)
\(\displaystyle{ o_{2}: \ \ (x-1)^2 +y^2 = 1^2. }\)
Pole obszaru:
\(\displaystyle{ |P| = \pi R^2 - \pi r^2 }\)
\(\displaystyle{ |P| = \pi\cdot 2^2 - \pi \cdot 1^2 = 4\pi - \pi = 3\pi.}\)
Gęstość powierzchniowa obszaru
\(\displaystyle{ \sigma(x,y) = y.}\)
Momenty statyczne:
\(\displaystyle{ M_{x} = 0 }\) - obszar symetryczny względem osi \(\displaystyle{ 0x.}\)
Współrzędna \(\displaystyle{ x }\) środka ciężkości \(\displaystyle{ \eta = 0 = \frac{M_{x}}{|P|}.}\)
\(\displaystyle{ M_{y} = 2\int_{0}^{2}\int_{\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{4- (x-2)^2}} x y dydx + 2\int_{2}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 - (x-2)^2}}x y dydx = \ \ ...}\)
Współrzędna \(\displaystyle{ y }\) środka ciężkości:
\(\displaystyle{ \xi = \frac{M_{y}}{|P|}= \ \ ... }\)
Można obliczyć te całki we współrzędnych biegunowych.