Pozycje punktu po okręgu
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 10 sie 2022, o 01:06
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Pozycje punktu po okręgu
Witam potrzebuje wyliczyć każda pozycje punktu po okręgu w układzie współrzędnych za pomocą wzoru. Dla kąta 0 stopni odległość punktu wynosi 60mm a pozycja wynosi (60,0).Dla kąta 90 stopni odległość punktu wynosi 60mm a pozycja wynosi (0,60) Punkty muszą być wyliczane na podstawie kąta obrotu alfa. Mam wrażenie że to zwykłe sin i cos ale nie mogę tego rozgryźć
Potrzebuje wzór żebym mógł określić wszystkie punkty po okręgu za pomocą wzoru jak dla np. a2
Czy może jakieś inne sposoby wyznaczenia równań pozycji?
Potrzebuje wzór żebym mógł określić wszystkie punkty po okręgu za pomocą wzoru jak dla np. a2
Czy może jakieś inne sposoby wyznaczenia równań pozycji?
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 28 gru 2021, o 17:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 10 razy
Re: Pozycje punktu po okręgu
S(a,b) - środek okręgu
r - promień okręgu
Równanie okręgu na układzie współrzędnych:
\(\displaystyle{ (x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2}}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Pozycje punktu po okręgu
Punkt \(\displaystyle{ a_2}\) na rysunku ma współrzędne
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 60 \cos \alpha \\ y = 60 \sin \alpha \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 60 \cos \alpha \\ y = 60 \sin \alpha \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 10 sie 2022, o 01:06
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Re: Pozycje punktu po okręgu
Jeżeli pochodną pozycji jest prędkość to wynosi ona?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \sin \alpha \\ y = -\cos \alpha \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 23 sie 2022, o 18:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Pozycje punktu po okręgu
O prędkości jest sens mówić tylko wtedy, gdy dana jest funkcja położenia od czasu, a nie pojedyncza pozycja - podobnie jak nie da się określić prędkości samochodu z pojedynczego zdjęcia.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 10 sie 2022, o 01:06
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Re: Pozycje punktu po okręgu
Dostałem taka informacje: kąt obrotu alpha (oznaczam wstępnie literą "a") to jest funkcja \(\displaystyle{ a(t)}\). Dlatego pochodna z \(\displaystyle{ \sin(a(t))}\) musi uwzględnić pochodną funkcji wewnętrznej.
Informacja ta powoli już wykracza za moje kompetencje. Jaka są kolejne kroki żeby wyliczyć prędkość z pozycji w tym przypadku?
Informacja ta powoli już wykracza za moje kompetencje. Jaka są kolejne kroki żeby wyliczyć prędkość z pozycji w tym przypadku?
Ostatnio zmieniony 23 sie 2022, o 21:32 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - umieszczaj w tagach [latex][/latex] wyrażenia matematyczne.
Powód: Poprawa wiadomości - umieszczaj w tagach [latex][/latex] wyrażenia matematyczne.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Pozycje punktu po okręgu
Jeśli dobrze rozumiem, punkt \(\displaystyle{ a}\) porusza się po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 60}\) w taki sposób, że w chwili \(\displaystyle{ t}\) jego promień wodzący tworzy z osią OX kąt \(\displaystyle{ \alpha(t)}\). W takim razie położenie punktu w chwili \(\displaystyle{ t}\) to
\(\displaystyle{ s(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \cos(\alpha(t)) \\ 60 \sin(\alpha(t)) \end{pmatrix}}\).
Prędkość w chwili \(\displaystyle{ t}\) jest pochodną tej funkcji, i obliczamy ją ze wzoru na pochodną złożenia:
\(\displaystyle{ v(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -60 \sin(\alpha(t)) \cdot \alpha'(t) \\ 60 \cos(\alpha(t)) \cdot \alpha'(t) \end{pmatrix} = \alpha'(t) \cdot \begin{pmatrix} -60 \sin(\alpha(t)) \\ 60 \cos(\alpha(t)) \end{pmatrix}}\).
\(\displaystyle{ s(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \cos(\alpha(t)) \\ 60 \sin(\alpha(t)) \end{pmatrix}}\).
Prędkość w chwili \(\displaystyle{ t}\) jest pochodną tej funkcji, i obliczamy ją ze wzoru na pochodną złożenia:
\(\displaystyle{ v(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -60 \sin(\alpha(t)) \cdot \alpha'(t) \\ 60 \cos(\alpha(t)) \cdot \alpha'(t) \end{pmatrix} = \alpha'(t) \cdot \begin{pmatrix} -60 \sin(\alpha(t)) \\ 60 \cos(\alpha(t)) \end{pmatrix}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 10 sie 2022, o 01:06
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Re: Pozycje punktu po okręgu
Chciałbym policzyć przykładowo dla kąta \(\displaystyle{ 45}\). Jak obliczyć pochodna z \(\displaystyle{ α′(t)}\)? Będą to po prostu \(\displaystyle{ -\sin45^\circ}\) i \(\displaystyle{ \cos45^\circ\ ?}\)
Ostatnio zmieniony 24 sie 2022, o 16:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Pozycje punktu po okręgu
Zależy od tego, jak wygląda funkcja \(\alpha\). Przykładowo jeśli punkt spoczywa w miejscu wyznaczonym przez kąt \(\alpha(t)=45^{\circ}=\frac{\pi}4\), to \(\alpha'(t)=0\). Jeśli punkt porusza się jednostajnie z prędkością kątową \(\omega\), to \(\alpha(t)=\omega t + \alpha_0\) oraz \(\alpha'(t)=\omega\).
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 10 sie 2022, o 01:06
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Re: Pozycje punktu po okręgu
Mam do wyznaczenie kolejne wzory na pozycje i prędkość punktu na okręgu tym razem bardziej skomplikowane. Środek okręgu \(\displaystyle{ S(30,0)}\), nieznane \(\displaystyle{ r}\) oraz punkt \(\displaystyle{ a_1{}(60,10)}\) który jest pod kątem \(\displaystyle{ \alpha= 0^{\circ}}\) - Tym razem pozycja punktu będzie na paliczku a nie w jego osi - czarny punkt. Wcześniejsze wzory niestety nie pasują i zastanawiam się czy nie będzie trzeba przesunąć układu współrzędnych chociaż wolał bym go zostawić tak jak jest
Dodano po 23 godzinach 58 minutach 28 sekundach:
Dziękuje serdecznie wszystkim za pomoc, udało mi się wyznaczy wzory także temat można zamknąć
Dodano po 23 godzinach 58 minutach 28 sekundach:
Dziękuje serdecznie wszystkim za pomoc, udało mi się wyznaczy wzory także temat można zamknąć