Pozycje punktu po okręgu

Kodzax · Post autor: **Kodzax** » 23 sie 2022, o 02:01

Witam potrzebuje wyliczyć każda pozycje punktu po okręgu w układzie współrzędnych za pomocą wzoru. Dla kąta 0 stopni odległość punktu wynosi 60mm a pozycja wynosi (60,0).Dla kąta 90 stopni odległość punktu wynosi 60mm a pozycja wynosi (0,60) Punkty muszą być wyliczane na podstawie kąta obrotu alfa. Mam wrażenie że to zwykłe sin i cos ale nie mogę tego rozgryźć

Potrzebuje wzór żebym mógł określić wszystkie punkty po okręgu za pomocą wzoru jak dla np. a2
Czy może jakieś inne sposoby wyznaczenia równań pozycji?

Isdre · Post autor: **Isdre** » 23 sie 2022, o 08:58

Kodzax pisze: ↑23 sie 2022, o 02:01 Potrzebuje wzór żebym mógł określić wszystkie punkty po okręgu za pomocą wzoru jak dla np. a2
Czy może jakieś inne sposoby wyznaczenia równań pozycji?

S(a,b) - środek okręgu
r - promień okręgu
Równanie okręgu na układzie współrzędnych:
\(\displaystyle{ (x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2}}\)

Post autor: **Dasio11** » 23 sie 2022, o 10:08

Punkt \(\displaystyle{ a_2}\) na rysunku ma współrzędne

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 60 \cos \alpha \\ y = 60 \sin \alpha \end{cases}}\)

Kodzax · Post autor: **Kodzax** » 23 sie 2022, o 17:05

Dasio11 pisze: ↑23 sie 2022, o 10:08 Punkt \(\displaystyle{ a_2}\) na rysunku ma współrzędne

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 60 \cos \alpha \\ y = 60 \sin \alpha \end{cases}}\)

Jeżeli pochodną pozycji jest prędkość to wynosi ona?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \sin \alpha \\ y = -\cos \alpha \end{cases}}\)

Post autor: **Dasio11** » 23 sie 2022, o 17:10

O prędkości jest sens mówić tylko wtedy, gdy dana jest funkcja położenia od czasu, a nie pojedyncza pozycja - podobnie jak nie da się określić prędkości samochodu z pojedynczego zdjęcia.

Kodzax · Post autor: **Kodzax** » 23 sie 2022, o 20:27

Dostałem taka informacje: kąt obrotu alpha (oznaczam wstępnie literą "a") to jest funkcja \(\displaystyle{ a(t)}\). Dlatego pochodna z \(\displaystyle{ \sin(a(t))}\) musi uwzględnić pochodną funkcji wewnętrznej.

Informacja ta powoli już wykracza za moje kompetencje. Jaka są kolejne kroki żeby wyliczyć prędkość z pozycji w tym przypadku?

Post autor: **Dasio11** » 23 sie 2022, o 20:59

Jeśli dobrze rozumiem, punkt \(\displaystyle{ a}\) porusza się po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 60}\) w taki sposób, że w chwili \(\displaystyle{ t}\) jego promień wodzący tworzy z osią OX kąt \(\displaystyle{ \alpha(t)}\). W takim razie położenie punktu w chwili \(\displaystyle{ t}\) to

\(\displaystyle{ s(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \cos(\alpha(t)) \\ 60 \sin(\alpha(t)) \end{pmatrix}}\).

Prędkość w chwili \(\displaystyle{ t}\) jest pochodną tej funkcji, i obliczamy ją ze wzoru na pochodną złożenia:

\(\displaystyle{ v(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -60 \sin(\alpha(t)) \cdot \alpha'(t) \\ 60 \cos(\alpha(t)) \cdot \alpha'(t) \end{pmatrix} = \alpha'(t) \cdot \begin{pmatrix} -60 \sin(\alpha(t)) \\ 60 \cos(\alpha(t)) \end{pmatrix}}\).

Kodzax · Post autor: **Kodzax** » 24 sie 2022, o 16:19

Chciałbym policzyć przykładowo dla kąta \(\displaystyle{ 45}\). Jak obliczyć pochodna z \(\displaystyle{ α′(t)}\)? Będą to po prostu \(\displaystyle{ -\sin45^\circ}\) i \(\displaystyle{ \cos45^\circ\ ?}\)

3a174ad9764fefcb · Post autor: **3a174ad9764fefcb** » 24 sie 2022, o 17:17

Zależy od tego, jak wygląda funkcja \(\alpha\). Przykładowo jeśli punkt spoczywa w miejscu wyznaczonym przez kąt \(\alpha(t)=45^{\circ}=\frac{\pi}4\), to \(\alpha'(t)=0\). Jeśli punkt porusza się jednostajnie z prędkością kątową \(\omega\), to \(\alpha(t)=\omega t + \alpha_0\) oraz \(\alpha'(t)=\omega\).

Kodzax · Post autor: **Kodzax** » 25 sie 2022, o 22:31

Mam do wyznaczenie kolejne wzory na pozycje i prędkość punktu na okręgu tym razem bardziej skomplikowane. Środek okręgu \(\displaystyle{ S(30,0)}\), nieznane \(\displaystyle{ r}\) oraz punkt \(\displaystyle{ a_1{}(60,10)}\) który jest pod kątem \(\displaystyle{ \alpha= 0^{\circ}}\) - Tym razem pozycja punktu będzie na paliczku a nie w jego osi - czarny punkt. Wcześniejsze wzory niestety nie pasują i zastanawiam się czy nie będzie trzeba przesunąć układu współrzędnych chociaż wolał bym go zostawić tak jak jest

Dodano po 23 godzinach 58 minutach 28 sekundach:
Dziękuje serdecznie wszystkim za pomoc, udało mi się wyznaczy wzory także temat można zamknąć

Matematyka.pl

Pozycje punktu po okręgu

Pozycje punktu po okręgu

Re: Pozycje punktu po okręgu

Re: Pozycje punktu po okręgu

Re: Pozycje punktu po okręgu

Re: Pozycje punktu po okręgu

Re: Pozycje punktu po okręgu

Re: Pozycje punktu po okręgu

Re: Pozycje punktu po okręgu

Re: Pozycje punktu po okręgu

Re: Pozycje punktu po okręgu