Powierzchnia stożka

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11071
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3123 razy
Pomógł: 740 razy

Powierzchnia stożka

Post autor: mol_ksiazkowy »

Obliczyć \(\displaystyle{ \iint (z-1)^2 dS }\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest powierzchnią stożka o wierzchołku \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) i podstawie, która jest kołem \(\displaystyle{ x^2+y^2 \leq 1}\) w płaszczyźnie \(\displaystyle{ OXY}\).
Ostatnio zmieniony 12 maja 2020, o 12:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Powierzchnia stożka

Post autor: pkrwczn »

Można poprzecinać ten stożek płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny \(\displaystyle{ OXY}\), grubość każdej warstwy \(\displaystyle{ \dd z}\), powierzchnia boczna nachylona jest pod kątem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), więc mamy element powierzchni \(\displaystyle{ \dd S=\sqrt{2}\dd z\cdot 2\pi(1-z)}\).

\(\displaystyle{ I_1=\int_0^1 (z-1)^2\sqrt{2} 2\pi(1-z)\dd z=-2\sqrt{2}\pi\int_0^1(z-1)^3\dd z=-\frac{\sqrt{2}}{2}\pi}\).

To było po powierzchni bocznej, całkowanie po podstawie to mnożenie \(\displaystyle{ \left( (z-1)^2\cdot \pi \ 1^2 \right) _{z=0}=\pi }\).

\(\displaystyle{ \iint (z-1)^2 dS=I_1+I_2=\pi\left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22115
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3737 razy

Re: Powierzchnia stożka

Post autor: a4karo »

Czy ta ujemna wartość całki z dodatniej funkcji nie wywołuje refleksji?
pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Powierzchnia stożka

Post autor: pkrwczn »

pkrwczn pisze: 29 lis 2020, o 06:37 ...

\(\displaystyle{ I_1=\int_0^1 (z-1)^2\sqrt{2} 2\pi(1-z)\dd z=-2\sqrt{2}\pi\int_0^1(z-1)^3\dd z=\color{red}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\pi}}\).
Powinno być \(\displaystyle{ I_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi}\).
...

\(\displaystyle{ \iint (z-1)^2 dS=I_1+I_2=\color{red}{\pi\left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} }\)
Powinno być \(\displaystyle{ \iint (z-1)^2 dS=I_1+I_2=\pi\left( 1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\).

Chyba.
ODPOWIEDZ