Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\(\displaystyle{ x^{2} + 2y ^{2} + 3z ^{2} =21 }\)
równoległą do płaszczyzny \(\displaystyle{ x+4y+6z=0 }\)
I też chciałabym się zapytać o ogólny schemat rozwiązywania takiego typu zadań.
Płaszczyzna styczna do powierzchni i równoległa do innej płaszczyzny
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8591
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3353 razy
Re: Płaszczyzna styczna do powierzchni i równoległa do innej płaszczyzny
\(\displaystyle{ F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21=0}\)
Wektor normalny płaszczyzny stycznej \(\displaystyle{ \vec{n}= grad (F)=\left[ 2x,4y,6z\right] }\) jest proporcjonalny do wektora normalnego płaszczyzny równoległej:
\(\displaystyle{ \left[ 2x,4y,6z\right]=q\left[1,4,6\right] }\)
czyli \(\displaystyle{ x=\frac{q}{2} \wedge y=\frac{4q}{4} \wedge z=\frac{6q}{6} }\)
a stąd :
\(\displaystyle{ (\frac{q}{2})^2+2q^2+3q^2=21\\
q^2=4\\
q=2 \vee q=-2}\)
co daje dwie płaszczyzny styczne i ich punkty styczności:
a) \(\displaystyle{ q=2}\)
\(\displaystyle{ P_1=(1,2,2)\\
\pi_1: \ \ 4(x-1)+8(y-2)+12(z-2)=0 }\)
b) \(\displaystyle{ q=-2}\)
\(\displaystyle{ P_2=(-1,-2,-2)\\
\pi_2: \ \ -4(x+1)-8(y+2)-12(z+2)=0 }\)
Wektor normalny płaszczyzny stycznej \(\displaystyle{ \vec{n}= grad (F)=\left[ 2x,4y,6z\right] }\) jest proporcjonalny do wektora normalnego płaszczyzny równoległej:
\(\displaystyle{ \left[ 2x,4y,6z\right]=q\left[1,4,6\right] }\)
czyli \(\displaystyle{ x=\frac{q}{2} \wedge y=\frac{4q}{4} \wedge z=\frac{6q}{6} }\)
a stąd :
\(\displaystyle{ (\frac{q}{2})^2+2q^2+3q^2=21\\
q^2=4\\
q=2 \vee q=-2}\)
co daje dwie płaszczyzny styczne i ich punkty styczności:
a) \(\displaystyle{ q=2}\)
\(\displaystyle{ P_1=(1,2,2)\\
\pi_1: \ \ 4(x-1)+8(y-2)+12(z-2)=0 }\)
b) \(\displaystyle{ q=-2}\)
\(\displaystyle{ P_2=(-1,-2,-2)\\
\pi_2: \ \ -4(x+1)-8(y+2)-12(z+2)=0 }\)