Obliczyć całkę krzywoliniową

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
LuckyEngineer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 cze 2023, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Obliczyć całkę krzywoliniową

Post autor: LuckyEngineer »

Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{L}^{} y^{2} dx - x^{2} dy }\), gdzie \(\displaystyle{ L}\) jest jest krzywą o równaniu: \(\displaystyle{ x^{2} + y ^{2} -2x + 4y -4 = 0}\) zorientowaną ujemnie względem swojego wnętrza.

\(\displaystyle{ P=y^{2}\\
Q=x ^{2} \\
P'y = 2y\\
Q'x = -2x\\
\int_{L} y^{2} dx - x^{2} dy =\iint_{D} -2x-2y dxdy}\)

Parametryzuję obszar \(\displaystyle{ D}\):
\(\displaystyle{ x^{2} + y ^{2} -2x + 4y -4 = 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-2x+1+ y^{2}+4y+4=9}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9}\)
Obszarem jest okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ A=(1,-2)}\)
Wprowadzam współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x=r\cos f\\
y=r\sin f\\
J=r\\
f = [0;2 \pi]}\)

Wyprowadzam promień:
\(\displaystyle{ x^{2}-2x+1+ y^{2}+4y+4 \le 9}\)
\(\displaystyle{ r^{2}\cos^{2}f - 2r\cos f + 1 + r^{2}\sin^{2}f + 4r\sin f + 4 \le 9}\)
\(\displaystyle{ r^{2}-2r\cos f+4r\sin f \le 4 }\)
\(\displaystyle{ r \le \sqrt{4+2r\cos f-4r\sin f} \wedge r \ge - \sqrt{4+2r\cos f-4r\sin f}}\)
\(\displaystyle{ r = [- \sqrt{4+2r\cos f-4r\sin f} ; \sqrt{4+2r\cos f-4r\sin f}]}\)
\(\displaystyle{ A = - \sqrt{4+2r\cos f-4r\sin f}}\)
\(\displaystyle{ B =\sqrt{4+2r\cos f-4r\sin f}}\)
\(\displaystyle{ \iint_{D} -2x-2y dxdy= - \int_{0}^{2 \pi } \int_{A}^{B} (-2r\cos f -2r\sin f)r drdf }\)
I dalej to sobie policzę.

Czy tym sposobem będzie to policzone dobrze?
Ostatnio zmieniony 4 cze 2023, o 14:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 . Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7906
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Obliczyć całkę krzywoliniową

Post autor: janusz47 »

Zadanie

Proszę obliczyć całkę krzywoliniową

\(\displaystyle{ \int_{(L} y^2 dx -x^2dy, }\)

gdzie: \(\displaystyle{ L }\) jest krzywą o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2-2x +4y -4 =0.}\)

Metoda pierwsza (w oparciu o definicję całki krzywoliniowej skierowanej na płaszczyźnie)

Twierdzenie 1

Jeśli łuk gładki \(\displaystyle{ (L) }\) jest dany na płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxy }\) i jest skierowany zgodnie (lub przeciwnie) do wzrostu parametru. a funkcja wektorowa (pole wektorowe) \(\displaystyle{ \vec{F} = [ P, \ \ Q] }\) jest ciągła na \(\displaystyle{ (L), }\) to całka istnieje i zachodzi równość

\(\displaystyle{ \int_{(L)} Pdx + Qdy = \pm \int_{\alpha}^{\beta} [P(x(t)) \cdot x'(t) + Q(x(t))\cdot y'(t)] dt.}\)

Dowód: [1]

Z twierdzenia tego wynika, że przejście od całki krzywoliniowej do całki oznaczonej polega na określeniu:
1)
funkcji wyznaczających drogę całkowania,
2)
różniczek tych funkcji,
3)
całki oznaczonej w odpowiednich granicach całkowania.


1)

Równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2-2x +4y -4 =0.}\)

\(\displaystyle{ x^2 -2x +1^2 -1^2 + y^2 + +4y + 2^2 +2^2 -4 = (x-1)^2 + (y+2)^2 = 1 }\) przedstawia okrąg jednostkowy o środku w punkcie \(\displaystyle{ O = (1, -2).}\)

Parametryzacja okręgu:

\(\displaystyle{ x-1 = \cos(t), \ \ y+2 = \sin(t), \ \ t\in [0, 2\pi].}\)

\(\displaystyle{ x(t) = 1+\cos(t), \ \ y(t) = -2 + \sin(t).}\)

2)

\(\displaystyle{ x'(t)dt = -\sin(t)dt, \ \ y'(t)dt = \cos(t)dt.}\)

3)

\(\displaystyle{ \int_{(L)} y^2 dx - x^2 dy = -\int_{0}^{2\pi}\left[(\sin(t)-2)^2cdot (-\sin(t)) - (\cos(t)+1)^2\cdot \cos(t)\right] dt=}\)
\(\displaystyle{ = -\int_{0}^{2\pi} \left[(\sin^2(t) -4\sin(t) +4)\cdot(-\sin(t) -(\cos^2(t)+2\cos(t)+1)\cdot \cos(t)\right] dt = }\)
\(\displaystyle{ = -\int_{0}^{2\pi}[(-\sin^3(t)+4\sin^2(t)-4\sin(t)-(\cos^3(t)+2\cos^2(t)+\cos(t))]dt = }\)
\(\displaystyle{ = \int_{0}^{2\pi} (sin^3(t) -4\sin^2(t) +4\sin(t)+\cos^3(t)+2\cos^2(t)+\cos(t))dt = }\)
\(\displaystyle{ = \int_{0}^{2\pi}\sin^3(t)dt -4\int_{0}^{2\pi}\sin^2(t)dt +4\int_{0}^{2\pi}\sin(t)dt +2\int_{0}^{2\pi} \cos^2(t)dt +\int_{0}^{2\pi}\cos(t)dt = I_{1}-I_{2}+I_{3}+I_{4}+I_{5} \ \ (1) }\)

Całki oznaczone \(\displaystyle{ I_{1},I_{3}, I_{5} }\) można policzyć, ale są one równe zeru, wynika to z ich interpretacji geometrycznej jako pół zawartych między wykresami funkcji podcałkowych a osią \(\displaystyle{ Ox .}\)

\(\displaystyle{ I_{2} = \int_{0}^{2\pi} \sin^2(t) dt = 4\cdot \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} (1-\cos(2t))dt = 2 \int_{0}^{2\pi} dt - 2\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)dt = }\)
\(\displaystyle{ = 2\left [t \right ]_{0}^{2\pi} - \left[\sin(2t)\right ]_{0}^{2\pi} = 2(2\pi -0) - (\sin(4\pi) -\sin(0)) = 4\pi -0 -0 + 0 = 4\pi \ \ (2)}\)

\(\displaystyle{ I_{4} = 2\int_{0}^{2\pi} \cos^2(t) dt = \int_{0}^{2\pi} (\cos(2t)+1)dt = \left[\frac{1}{2}\sin(2t) \right]_{0}^{2\pi} + \left[ t \right]_{0}^{2\pi} = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\sin(4\pi) -\frac{1}{2}\sin(0) +2\pi -0 = \frac{1}{0}\cdot 0 +\frac{1}{2}\cdot 0 +2\pi +0 = 2\pi \ \ (3)}\)

Z \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\)

\(\displaystyle{ \int_{(L)}y^2dx + x^2 dy = 0 -4\pi + 0 + 2\pi + 0 = -2\pi.}\)


Metoda druga (w oparciu o twierdzenie Greena na płaszczyźnie)

Twierdzenie 2

Niech dany będzie na płaszczyźnie obszar regularny \(\displaystyle{ (D) }\), którego brzeg jest krzywą zamkniętą zwykłą, gładką lub częściami gładką, skierowaną dodatnio (ujemnie).
Jeśli w zamkniętym obszarze \(\displaystyle{ (D) }\) pole wektorowe \(\displaystyle{ \vec{F} =[P, Q] }\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{1}, }\) to

\(\displaystyle{ \oint_{(L)} Pdx + Qdy = \iint_{(D)} \left ( \frac{\partial Q}{ \partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy.}\)

Pole wektorowe:\(\displaystyle{ \vec{F} = [ y^2, -x^2] = }\)

Obszar (D) = \(\displaystyle{ \{ (\phi, r): \ \ 0\leq \phi \leq 2\pi, \ \ 0\leq r \leq 1,\} }\)

Jakobian \(\displaystyle{ J(r, \phi) = r.}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial Q}{ \partial x}= -2x = -2(r\cos(\phi)+1), \ \ \frac{\partial P}{\partial y} = 2y = 2(r\sin(\phi)-2)}\)

Ze wzoru Greena:

\(\displaystyle{ \int_{(L)} y^2dx -x^2dy = - \int_{0}^{2\pi} [ -2(r\cos(\phi)+1)-2( r\sin(\phi)-2)]rdrd\phi = 2\int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{1}(r^2\cos(\phi) +r +r^2\sin(\phi) -2r)dr }\)
\(\displaystyle{ = 2\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r^2\cos(\phi) +r^2\sin(\phi) -r)dr = 2\int_{0}^{2\pi} d\phi \left[ \frac{r^3}{3}\cos(\phi) +\frac{r^3}{3}\sin(\phi) -\frac{r^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2\int_{0}^{2\pi} \left( \frac{1}{3}\cos(\phi) +\frac{1}{3}\sin(\phi) -\frac{1}{2} \right)d\phi= }\)
\(\displaystyle{ = \frac{2}{3}\left[ \sin(\phi)\right]_{0}^{2\pi} + \frac{2}{3}\left[-\cos(\phi)\right]_{0}^{2\pi} - \left[ \phi \right]_{0}^{2\pi} = \frac{2}{3}\cdot 0 +\frac{2}{3}\cdot 0 -2\pi = -2\pi.}\)

[1] Roman Leitner zarys matematyki wyższej dla studiów technicznych. Część II. Wydawnictwo Naukowo -Techniczne Warszwa 1989.
LuckyEngineer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 cze 2023, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Obliczyć całkę krzywoliniową

Post autor: LuckyEngineer »

janusz47 pisze: 6 cze 2023, o 12:02 Równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2-2x +4y -4 =0.}\)
\(\displaystyle{ x^2 -2x +1^2 -1^2 + y^2 + +4y + 2^2 +2^2 -4 = (x-1)^2 + (y+2)^2 = 1 }\) przedstawia okrąg jednostkowy o środku w punkcie \(\displaystyle{ O = (1, -2).}\)
Jakim cudem \(\displaystyle{ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 1}\) miałoby być tożsame z \(\displaystyle{ x^2+y^2-2x +4y -4 =0.}\)? Znaki przy wyrazie wolnym się Panu pomyliły. Poza tym jakim cudem dla okręgu o środku w punkcie (1,-2) mamy zakres całkowania po promieniu niezależny od kąta obrotu fi?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7906
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Obliczyć całkę krzywoliniową

Post autor: janusz47 »

Jest to okrąg

\(\displaystyle{ L : (x-1)^2 + (y+2) = 9 = 3^2}\)

o środku w punkcie \(\displaystyle{ (1, -2)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r =3 }\)

Kąt \(\displaystyle{ \phi \in [0, 2\pi ].}\)

Jest już późno. Jutro poprawię post.

Dodano po 11 godzinach 33 minutach 55 sekundach:
Zadanie

Proszę obliczyć całkę krzywoliniową:

\(\displaystyle{ \int_{(L} y^2 dx -x^2dy, }\)

gdzie: \(\displaystyle{ L }\) jest krzywą o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2-2x +4y -4 =0.}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2-2x +4y -4 =0,}\)

\(\displaystyle{ x^2 -2x +1 -1 +y^2 +4y +4 -4 -4 =0,}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^2 +(y+2)^2 = 9 }\) jest to okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ (1,-2)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=3.}\)

Metoda pierwsza (w oparciu o definicję całki krzywoliniowej skierowanej na płaszczyźnie)

Twierdzenie 1

Jeśli łuk gładki \(\displaystyle{ (L) }\) jest dany na płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxy }\) i jest skierowany zgodnie (lub przeciwnie) do wzrostu parametru. a funkcja wektorowa (pole wektorowe) \(\displaystyle{ \vec{F} = [ P, \ \ Q] }\) jest ciągła na \(\displaystyle{ (L), }\) to całka istnieje i zachodzi równość

\(\displaystyle{ \int_{(L)} Pdx + Qdy = \pm \int_{\alpha}^{\beta} [P(x(t)) \cdot x'(t) + Q(x(t))\cdot y'(t)] dt.}\)

Dowód: [1]

Z twierdzenia tego wynika, że przejście od całki krzywoliniowej do całki oznaczonej polega na określeniu:
1)
funkcji wyznaczających drogę całkowania,
2)
różniczek tych funkcji,
3)
całki oznaczonej w odpowiednich granicach całkowania.
1)

Parametryzacja okręgu:

\(\displaystyle{ x-1 = 3\cos(t), \ \ y+2 = 3\sin(t), \ \ t\in [0, 2\pi].}\)

\(\displaystyle{ x(t) = 1+3 \cos(t), \ \ y(t) = -2 + 3\sin(t).}\)

2)

\(\displaystyle{ x'(t)dt = -3\sin(t)dt, \ \ y'(t)dt = 3\cos(t)dt.}\)

3)

\(\displaystyle{ \int_{(L)} y^2 dx - x^2 dy = -\int_{0}^{2\pi}\left[(3\sin(t)-2)^2\cdot (-3\sin(t)) - (3\cos(t)+1)^2\cdot 3\cos(t)\right] dt=}\)
\(\displaystyle{ = -\int_{0}^{2\pi} \left[(9\sin^2(t) -12\sin(t) +4)\cdot (-3\sin(t)) -(9\cos^2(t)+ 6\cos(t)+1)\cdot 3\cos(t)\right] dt = }\)
\(\displaystyle{ = -\int_{0}^{2\pi}[(-27\sin^3(t)+36\sin^2(t)-12\sin(t)-(27\cos^3(t)+18\cos^2(t)+ 3\cos(t))]dt = }\)
\(\displaystyle{ = \int_{0}^{2\pi} 27\sin^3(t) -36\sin^2(t) +12\sin(t)+ 27\cos^3(t)+18\cos^2(t)+ 3\cos(t))dt = }\)
\(\displaystyle{ = \int_{0}^{2\pi} 27 \sin^3(t)dt -36\int_{0}^{2\pi}\sin^2(t)dt +12\int_{0}^{2\pi}\sin(t)dt +27\int_{0}^{2\pi} \cos^3(t)dt+ 18\int_{0}^{2\pi}\cos^2(t)dt +3\int_{0}^{2\pi}\cos(t)dt = I_{1}-I_{2}+I_{3}+I_{4}+I_{5}+}\)
\(\displaystyle{ + I_{6} \ \ (1) }\)

Całki oznaczone \(\displaystyle{ I_{1},I_{3}, I_{4}.I_{6} }\) można policzyć, ale są one równe zeru, co wynika z ich interpretacji geometrycznej jako pół zawartych między wykresami funkcji podcałkowych a osią \(\displaystyle{ Ox .}\)

\(\displaystyle{ I_{2} = 36\int_{0}^{2\pi} \sin^2(t) dt = 36\cdot \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} (1-\cos(2t))dt = 18 \int_{0}^{2\pi} dt - 2\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)dt = }\)
\(\displaystyle{ = 18\left [t \right ]_{0}^{2\pi} - 18\left[\sin(2t)\right ]_{0}^{2\pi} = 18\cdot (2\pi -0) - 18\cdot (\sin(4\pi) -\sin(0)) = 36\pi -0 -0 + 0 = 36\pi \ \ (2)}\)

\(\displaystyle{ I_{5} = 18\int_{0}^{2\pi} \cos^2(t) dt = 18\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}(\cos(2t)+1)dt = 9\left[\frac{1}{2}\sin(2t) \right]_{0}^{2\pi} + 9\left[ t \right]_{0}^{2\pi} = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{9}{2}\sin(4\pi) -\frac{9}{2}\sin(0) +9\cdot 2\pi -9\cdot 0 = \frac{9}{2}\cdot 0 -\frac{9}{2}\cdot 0 +18\pi -0 = 18\pi \ \ (3)}\)

Z \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\)

\(\displaystyle{ \int_{(L)}y^2dx + x^2 dy = 0 -36\pi + 0 + 0 + 18\pi + 0 = -18\pi.}\)


Metoda druga (w oparciu o twierdzenie Greena na płaszczyźnie)

Twierdzenie 2

Niech dany będzie na płaszczyźnie obszar regularny \(\displaystyle{ (D) }\), którego brzeg jest krzywą zamkniętą zwykłą, gładką lub częściami gładką, skierowaną dodatnio (ujemnie).
Jeśli w zamkniętym obszarze \(\displaystyle{ (D) }\) pole wektorowe \(\displaystyle{ \vec{F} =[P, Q] }\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{1}, }\) to

\(\displaystyle{ \oint_{(L)} Pdx + Qdy = \iint_{(D)} \left ( \frac{\partial Q}{ \partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy.}\)

Pole wektorowe:\(\displaystyle{ \vec{F} = [ y^2, -x^2] .}\)

Obszar (D) = \(\displaystyle{ \{ (\phi, r): \ \ 0\leq \phi \leq 2\pi, \ \ 0\leq r \leq 3,\} }\)

Jakobian \(\displaystyle{ J(r, \ \ \phi) = r.}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial Q}{ \partial x}= -2x = -2(r\cos(\phi)+1), \ \ \frac{\partial P}{\partial y} = 2y = 2(r\sin(\phi)-2)}\)

Ze wzoru Greena:

\(\displaystyle{ \int_{(L)} y^2dx -x^2dy = - \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3}[ -2(r\cos(\phi)+1)-2( r\sin(\phi)-2)]rdrd\phi = 2\int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{3}(r^2\cos(\phi) +r +r^2\sin(\phi) -2r)dr }\)
\(\displaystyle{ = 2\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} (r^2\cos(\phi) +r^2\sin(\phi) -r)dr = 2\int_{0}^{2\pi} d\phi \left[ \frac{r^3}{3}\cos(\phi) +\frac{r^3}{3}\sin(\phi) -\frac{r^2}{2} \right]_{0}^{3} = 2\int_{0}^{2\pi} \left( \frac{27}{3}\cos(\phi) +\frac{27}{3}\sin(\phi) -\frac{9}{2} \right)d\phi= }\)
\(\displaystyle{ = 18\left[ -\cos(\phi)\right]_{0}^{2\pi} +18\left[\sin(\phi)\right]_{0}^{2\pi} - 9\left[ \phi \right]_{0}^{2\pi} = 18\cdot 0 +18\cdot 0 -18\pi = -18\pi.}\)

[1] Roman Leitner zarys matematyki wyższej dla studiów technicznych. Część II. Wydawnictwo Naukowo -Techniczne Warszwa 1989.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22153
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Obliczyć całkę krzywoliniową

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 8 cze 2023, o 10:39Twierdzenie 1

Jeśli łuk gładki \(\displaystyle{ (L) }\) jest dany na płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxy }\) i jest skierowany zgodnie (lub przeciwnie) do wzrostu parametru. a funkcja wektorowa (pole wektorowe) \(\displaystyle{ \vec{F} = [ P, \ \ Q] }\) jest ciągła na \(\displaystyle{ (L), }\) to całka istnieje i zachodzi równość

\(\displaystyle{ \int_{(L)} Pdx + Qdy = \pm \int_{\alpha}^{\beta} [P(x(t)) \cdot x'(t) + Q(x(t))\cdot y'(t)] dt.}\)
Dla mnie to wygląda jak `2+3=\pm5`
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7906
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Obliczyć całkę krzywoliniową

Post autor: janusz47 »

Alternatywny zapis

\(\displaystyle{ \int_{(L)} Pdx + Qdy = \varepsilon \int_{\alpha}^{\beta} [P(x(t)) \cdot x'(t) + Q(x(t))\cdot y'(t)] dt.}\)

\(\displaystyle{ \varepsilon = \begin{cases} \ \ \ 1 \ \ \text{gdy} \ \ orientacja \ \ jest \ \ dodatnia, \\ -1 \ \ \text{gdy} \ \ orientacja \ \ jest \ \ ujemna \end{cases} }\)

Dodano po 1 godzinie 48 minutach 51 sekundach:
Można zadanie rozwiązać z zastosowaniem formy różniczkowej, posługując się wzorem Greena - Riemanna (szczególny przypadek wzoru Stokesa).

\(\displaystyle{ \int_{br(D)} \omega_{1}dx_{1}+\omega_{2}dx_{2} = \iint_{(D)} (\omega_{2'_{|x_{1}}} - \omega'_{1_{|x_{2}}})dx_{1} \wedge dx_{2} }\)

gdzie rozmaitość \(\displaystyle{ br(D) }\) ma orientację dodatnią.

Dowód: {2], [3]

[2] Witold Kołodziej analiza matematyczna wydanie III. Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Warszawa 1983.

[3] Andrzej Birkholc Analiza Matematyczna funkcje wielu zmiennych. Państwowe Wydawnictwo naukowe.Warszawa 1986.
ODPOWIEDZ