Jak dokończyć zadanie z twierdzenia Stokes'a

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
nice1233
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 7 lis 2015, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Jak dokończyć zadanie z twierdzenia Stokes'a

Post autor: nice1233 »

Treść zadania

\(\displaystyle{ \int_K{\left( x^2+yz \right) dx+\left( y^2+xz \right) dy+\left( z^2-xy \right) dz}}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest krzywą zamkniętą, zorientowaną
dodatnio, składającą się z łuku \(\displaystyle{ AB}\) określonego równaniami parametrycznymi
\(\displaystyle{ x=a\cos t, y=a\sin t, z=\frac{1}{2\pi}t}\) i odcinka \(\displaystyle{ BA,A=(a,0,0),B=(a,0,1)}\)

Na początku w GeoGebrze narysowałem sobie tą krzywą dla a = 2. (Linia śrubowa która jest połączona tym odcinkiem).

Patrząc z góry na obszar po którym będę całkować (czyli S z poniższego twierdzenia) to będzie okrąg o promieniu:
\(\displaystyle{ S=\left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R} ^2\,\,| x^2+y^2=a^2 \right\} \\Do\,\,współrzędnych\,\,biegunowych\\0\leqslant r\leqslant a\\0\leqslant \theta \leqslant 2\pi }\)

Zatem korzystam sobie z tw. Stoksa bo są spełnione są założenia (patrz poniżej):
Niech \(\displaystyle{ D \subset \mathbb{R}^{2}}\) będzie obszarem regularnym i niech \(\displaystyle{ \sigma: D \rightarrow S \subset \mathbb{R}^{3}}\) będzie powierzchnią regularną, zorientowaną, z brzegiem \(\displaystyle{ \partial S}\) będącym krzywą kawałkami gładką. Załóżmy, że powierzchnia \(\displaystyle{ S}\) jest zorientowana zgodnie z jej parametryzacją, to znaczy w taki sposób, aby zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej obieg dookoła krzywej wyznaczał zwrot wektora normalnego do powierzchni. Niech \(\displaystyle{ G \subset \mathbb{R}^{3}}\) będzie zbiorem otwartym takim, że \(\displaystyle{ G \supset S \cup \partial S}\). Załóżmy, że funkcja \(\displaystyle{ f=(P, Q, R): G \rightarrow \mathbb{R}^{3}}\) jest funkcją klasy \(\displaystyle{ C^{(1)}}\) w \(\displaystyle{ G}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{
\begin{gathered}
\int_{\partial S} P d x+Q d y+R d z= \\
=\iint_{S}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) d y d z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) d z d x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y
\end{gathered}
}\)

Obliczenia pomocnicze:
\(\displaystyle{ \frac{\partial R}{\partial y}=-x\,\, \frac{\partial Q}{\partial z}=x\quad \,\,\frac{\partial P}{\partial z}=y\,\, \frac{\partial R}{\partial x}=-y\,\, \frac{\partial R}{\partial x}=z\quad \frac{\partial P}{\partial y}=z}\)
\(\displaystyle{ \int_K{\underset{P}{\underbrace{\left( x^2+yz \right) }}dx+\underset{Q}{\underbrace{\left( y^2+xz \right) }}dy+\underset{R}{\underbrace{\left( z^2-xy \right) }}dz}=\iint_S{-2x\,\,dydz}+2y\,\,dxdz\,\, +\,\,0 \cdot dxdy}\)
Co dalej mam zrobić? Jak rozwiązać tą całkę? Co muszę obliczyć?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Jak dokończyć zadanie z twierdzenia Stokes'a

Post autor: janusz47 »

Czy trzeba stosować Twierdzenie Stokesa?

Prościej sparametryzować odcinek \(\displaystyle{ \overline{BA} }\) i obliczyć sumę całek krzywoliniowych po łuku \(\displaystyle{ AB }\) spirali i danym odcinku o końcach \(\displaystyle{ A, B.}\)

Kod: Zaznacz cały

math.stackexchange.com/questions/4463565/how-to-use-stokes-theorem
Dodano po 28 minutach 34 sekundach:
Jeśli mamy zastosować Twierdzenie Stokesa to musimy obliczyć całkę powierzchniową skierowaną dodatnio przez powierzchnie części koła i segmentu.
ODPOWIEDZ