Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}cos \alpha & -sin \alpha & 0 \\sin \alpha & cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}\)

Wiem że z prawej strony zapisuję sobie macierze jednostkową, ale jak tą z sinusami i cosinusami do niej przekształcić to nie mam pojęcia

Osobiście bym skojarzył tę macierz jako pewną macierz obrotu. Wiedząc czym jest macierz obrotu oraz co w tym kontekście oznacza odwrotność macierzy, możemy w ciemno strzelić macierz odwrotną.
Pozostaje spr., że to prawda.



Pozdrawiam.

catearcher, Z metodą eliminacji Gaussa to nie powinno być problemu
Na głównej przekątnej musisz otrzymać jedynkę trygonometryczną a
poza główną przekątną zera

Nie jestem pewien czy w ten sposób będzie dobrze

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha}&\cos{\alpha} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos{\beta}&-\sin{\beta} \\ \sin{\beta}&\cos{\beta} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos{\left( \alpha+\beta\right) }&-\sin{\left( \alpha+\beta\right) } \\ \sin{\left( \alpha+\beta\right) }&\cos{\left( \alpha+\beta\right) } \end{bmatrix}}\)

Wynika stąd że

\(\displaystyle{ \beta=-\alpha}\)

Gdyby rozpatrywać tę macierz jako macierz obrotu to czy nie powinno tak być ?

W tym przypadku wynik będzie zgodny ponieważ elementów w trzeciej kolumnie i trzecim wierszu
nie trzeba eliminować ale co by było gdyby była inna macierz obrotu

catearcher, Metodą eliminacji Gaussa jest prosto

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0& 1&0&0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0&0&1&0 \\ 0 & 0 & 1&0&0&1 \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}\cos \alpha \sin \alpha & -\sin^2 \alpha & 0&\sin \alpha&0&0 \\ \sin \alpha \cos \alpha \ & \cos^2 \alpha & 0&0&\cos \alpha&0 \\ 0 & 0 & 1&0&0&1 \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0&1&0&0 \\ 0 & 1 & 0&-\sin \alpha&\cos \alpha&0 \\ 0 & 0 & 1&0&0&1 \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0&1&0&0 \\ 0 & \sin \alpha & 0&-\sin^2 \alpha&\cos \alpha \sin \alpha&0 \\ 0 & 0 & 1&0&0&1 \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}\cos \alpha & 0 & 0&1-\sin^2 \alpha&\cos \alpha \sin \alpha&0 \\ 0 & 1 & 0&-\sin \alpha&\cos \alpha &0 \\ 0 & 0 & 1&0&0&1 \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}\cos \alpha & 0 & 0&\cos^2 \alpha&\cos \alpha \sin \alpha&0 \\ 0 & 1 & 0&-\sin \alpha&\cos \alpha &0 \\ 0 & 0 & 1&0&0&1 \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0&\cos\alpha& \sin \alpha&0 \\ 0 & 1 & 0&-\sin \alpha&\cos \alpha &0 \\ 0 & 0 & 1&0&0&1 \end{bmatrix}}\)

Pomysł z macierzą obrotu jest dość dobry ale nie dla tego kto miał stosunkowo niedawno wprowadzane macierze

wieeelkie dzieki, wolałabym tą metodą bo raczej póki co wszystko robimy za pomocą macierzy jednostkowej

Ale czy można jakoś znaleźć za pomocą wyznacznika? Bo jeśli to będzie macierz obrotu to właśnie 3 kolumna i 3 wiersz będą niezmienione i wtedy wyznaczyć sobie można wyznacznik z macierzy 2x2 i... no właśnie daje to coś?

Spróbuj wyznacznikiem. Też powinno bardzo łatwo pójść.

Ponadto jako formalność pozostawiam spr., że macierz jest w ogóle odwracalna dla dowolnyego alfa.